湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考试卷+(三)数学试题

2023-11-21 · U1 上传 · 12页 · 751.2 K

大联考雅礼中学2024届高三考试卷(三)数 学命题人:黄启光 审题人:李群丽得分:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页.时量120分钟,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(为虚数单位),是z的共轭复数,则的值为A.1 B. C. D.2.设全集,,,则A. B. C. D.3.已知向量,满足,,,则A.5 B.3 C.2 D.14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数(一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数)的和,如,,在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A. B. C. D.5.若函数在区间上有极值点,则实数a的取值范围是A. B. C. D.6.已知,,.则a,b,c的大小关系是A. B. C. D.7.已知,,则A. B. C.6 D.48.已知函数的零点分别为,,…,,),则A. B. C.0 D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知随机变量X服从正态分布,则下列选项正确的是(参考数值:随机变量服从正态分布,则,,)A. B.C. D.10.下列说法正确的是A.若不等式的解集为,则B.若命题p:,,则p的否定为:,C.在△ABC中,“”是“”的充要条件D.若对恒成立,则实数x的取值范围为11.已知函数(,,)的部分图象如图所示,若将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再将所得图象向右平移个单位长度,可得函数的图象,则下列说法正确的是A.函数的解析式为 B.函数的解析式为C.函数图象的一条对称轴是 D.函数在区间上单调递增12.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA⊥平面ABC,,AB⊥AC,,点D为AB的中点,点Q在三棱锥P-ABC表面上运动,且,已知在弧度制下锐角,满足:,,则下列结论正确的是A.过点D作球的截面,截面的面积最小为 B.过点D作球的截面,截面的面积最大为C.点Q的轨迹长为 D.点Q的轨迹长为第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.数据2,4,6,8,10,12,13,15,16,18的第70百分位数为.14.已知F是双曲线的左焦点,,P是双曲线右支上的一动点,则的最小值为.15.若的展开式中第4项是常数项,则除以9的余数为.16.已知函数的定义域为,且,函数在区间内的所有零点为(,2,3,…,n).若,则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)半径为R的圆内接△ABC,,∠ACB为锐角.(1)求∠ACB的大小;(2若∠ACB的平分线交AB于点D,,,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.19.(本小题满分12分)如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为AB,CD的中点,,M为DF的中点.现将四边形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如图②所示的多面体.在图②中,图① 图②(1)证明:EF⊥MC;(2)求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论函数零点的个数;(2)是否存在正实数k,使得恒成立.21.(本小题满分12分)某梯级共20级,某人上梯级(从0级梯级开始向上走)每步可跨一级或两级,每步上一级的概率为,上两级的概率为,设他上到第n级的概率为.(1)求他上到第10级的概率(结果用指数形式表示);(2)若他上到第5级时,求他所用的步数X的分布列和数学期望.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:()的离心率为,其左、右焦点分别为,,点P是坐标平面内一点,且(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A,B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标和△MAB面积的最大值;若不存在,说明理由.大联考雅礼中学2024届高三月考试卷(三)数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2.D【解析】易知,,∴,故.故选D.3.D【解析】由条件知,同向共线,所以,故选D.4.C【解析】不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23共9个,中位数为11,任取两个数含有1l的概率为,故选C.5.C【解析】由题意在区间上有零点,∴,,∴,又当时,,单调,不符合,∴,∴,故选C.6.B【解析】∵,∴,又,∴,∴.故选B.7.A【解析】由条件知,,两边同除以得:,∴,从而,故选A.8.A【解析】由,为其中一个零点,令,∵,∴令,∵∴,∴,∴,∴,所以)共有三个零点,0,,∴,故选A.9.AC【解析】∵随机变量X服从正态分布,正态曲线关于直线对称,且,,从而A正确,B错误,根据题意可得,,,∴,故C正确;与不关于直线对称,故D错误.故选AC.10.AD【解析】对于A,不等式解集为,则方程的两根为,2,故,则,,所以,故A正确;对于B,全称命题的否定是特称命题,量词任意改成存在,结论进行否定应是小于等于,故B不正确;对于C,,又,所以或,显然不是充要条件,故C错误;对于D,令,则,对恒成立,则,解得,故D正确,故选AD.11.ABD【解析】由图知,,,∴,得.故.∵点在函数图象上,∴,即.又∵,∴,∴.故函数的解析式为,故A正确;将的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,可得的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,可得的图象,故B正确;当时,,不是最值,故直线不是图象的一条对称轴,故C不正确;当时,,则在还上单调递增,故D正确,故选ABD.12.ABD【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以AB,AC,AP为邻边的长方体的外接球,∴,∴,取BC的中点,∴为△ABC的外接圆圆心,∴平面ABC,如图.当OD⊥截面时,截面的面积最小,∵,此时截面圆的半径为,∴最小截面面积为,A对;当截面过球心时,截面圆的面积最大为,B对;由条件可得,,则点Q的轨迹分别是以点P为圆心,4为半径的三段弧,其中一段弧圆心角为,两段弧圆心角为,弧长为,D对.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14【解析】因为为整数,所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14.14.9【解析】因为F是双曲线的左焦点,所以,设其右焦点为,则由双曲线定义得.15.1【解析】由题知,,因第4项为常数项,所以当时,,所以,则,而,1除9的余数为1,所以被9除余1.16.【解析】函数的零点转化为与的交点的横坐标,作出函数和()的图象可知,,,,,…,若,则,所以实数a的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)由正弦定理,又角C为锐角,所以.(2)∵CD为∠ACB的平分线,,∴,又∵,∴,则有,∴,∴.18.【解析】(1)设数列的公差为d,令,得,所以.①令,得,所以.②解①②得,,所以.(2)由(1)知,所以,所以,两式相减,得.所以.19.【解析】(1)证明:由题意,可知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EF⊥CD.∴折叠后,EF⊥DF,EF⊥CF.∵,DF,平面DCF,∴EF⊥平面DCF.又平面DCF,∴EF⊥MC.(2)∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面平面,且平面DF⊥EF,平面AEFD,∴DF⊥平面BEFC,又平面BEFC,∴DF⊥CF,∴DF,CF,EF两两垂直.以F为坐标原点,分别以FD,FC,EF所在直线为.x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由题意知.∴,,,.∴,,.设平面MAB,平面ABD的法向量分别为,,由得,取,则为平面MAB的一个法向量.由得,取,则为平面ABD的一个法向量.∴,平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.20.【解析】(1)设,则,可知在上单调递减,又,,所以方程有且仅有一个根,即函数有且只有1个零点.(2)令得(),即().设,,则,设,,则,因为,当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,则恒成立,所以函数在上单调递减,又,,所以不可能存在正实数k,使得恒成立.21.【解析】(1)由条件知,,且().所以,所以,又,∴,∴.∴.(2)由(1)知此人上到第5级的概率为,X的可能取值为3,4,5,,所以X的分布列为X345P所以.22.【解析】(1)设,,,则由;得,由得,即.所以.又因为,所以,.因此所求椭圆C的方程为.(2)设动直线l的方程为:,由得.设,.则,.假设在y上存在定点,满足题设,则,.

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