2023~2024学年第一学期闽江口协作体期中联考高三数学全卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚.4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容:集合,函数,三角函数与解三角形,平面向量,复数,立体几何,数列.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合M,再由集合的交集运算求解.【详解】解:因为集合,所以,故选:A2.已知,复数,则以下为实数的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘方,计算即可求解.【详解】由题意知,,所以.故选:C.3.函数的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】首先判断函数的奇偶性,再由函数在上的取值情况判断即可.【分析】函数则,所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除C、D;当时,,所以,则,故排除B.故选:A4.如图,边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图,则四边形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜二测画法确定平行四边形相关边长及对应高,即可求面积.【详解】由直观图知:四边形中,且其对应高,所以四边形的面积为.故选:D5.已知函数,则()A.是偶函数 B.是奇函数C.关于轴对称 D.关于中心对称【答案】D【解析】【详解】首先判断函数的定义域,再根据奇偶性与对称性的定义判断即可.【分析】函数定义域为,且,所以是非奇非偶函数,故A、B错误;因为,所以不关于对称,故C错误;又,所以关于中心对称,故D正确;故选:D6.圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为,则圆台母线与底面所成角的正切值为()A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】如图,作,则E为切点,由三角形的全等可得母线的长为,进而.由球的表面积和圆台的侧面积公式化简计算可得,即可求解.【详解】设内切球的半径为R,上底面的圆的半径为,下底面的圆的半径为,如图,作,则E为切点,有,,所以,,得,故母线的长为,在中,,即,得.又内切球的表面积与圆台的侧面积之比为,所以,由得,设母线与底面的夹角为,则.故选:D.7.函数的两个零点分别为,且,在上仅有两条对称轴,则可以是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得,由且可得.由可得,取即可求解.【详解】因为函数的两个零点为,且在上仅有两条对称轴,所以,又且,得.由函数的零点为,得,得,当时,,此时.故选:A.8.正四棱柱中,,四面体体积为,则与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,根据四面体体积为,由,求得,再建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解.【详解】解:设,因为四面体体积为,所以,解得,建立如图所示空间直角坐标系:则,所以,设平面的一个法向量为,则,即,令,则,所以,设与平面所成的角为,所以,故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,则()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】ABC选项,利用作差法比较大小,D选项,变形后,利用基本不等式证明出结论.【详解】A选项,因为,所以,,故,所以,A正确;B选项,,因为,所以,故,B正确;C选项,因为,所以,故,故,C错误;D选项,因为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以,即,故D正确.故选:ABD10.已知,且角的终边上有点,则()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【详解】利用三角函数定义结合诱导公式求解判断AB;利用和角的正余弦公式化简计算判断CD.【分析】由,得,则角为第四象限角,,显然,因此,A正确;显然,B错误;,C正确;,D正确.故选:ACD11.在三棱柱中,为的中点,,平面,,则下列结论错误的是()A.平面平面 B.平面平面C.平面 D.【答案】ABC【解析】【详解】设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法逐项判断,可得出合适的选项.【分析】在三棱柱中,平面,,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则,则、、、、、、,设平面的法向量为,,,则,取,可得,设平面的法向量为,,,则,取,可得,设平面的法向量为,,,则,取,则,对于A选项,因为,所以,平面与平面不垂直,A错;对于B选项,,所以,平面与平面不垂直,B错;对于C选项,,因为,则与平面不平行,C错;对于D选项,,则,所以,,D对.故选:ABC.12.在中,,为中点,交于点,则()A.B.C.四边形的面积是面积的D.和的面积相等【答案】AB【解析】【分析】根据向量的运算法则,可判定A正确;设,求得,结合三点共线,求得,可判定B正确;设的面积为,根据三角形的面积公式,求得四边形的面积为,可判定C不正确;根据题意,得到,可判定D错误.【详解】对于A中,因为,即为(靠近点)的三等分点,所以,所以A正确;对于B中,设,由点为的中点,可得,可得,以为三点共线,可得,所以,可得且,解得,即,所以B正确;对于C中,设的面积为,因为,可得,又因为为中点,且,可得,所以四边形的面积为,所以C不正确;对于D中,由,可得,所以,所以和的面积不相等,所以D错误.故选:AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量、的夹角的余弦值为,,,则________.【答案】【解析】【详解】根据数量积的定义与运算律计算可得.【分析】因为向量、的夹角的余弦值为,,,所以,所以.故答案为:14.函数的值域为________.【答案】【解析】【详解】将函数变形为,再结合指数函数与幂函数的性质计算可得.【分析】因为,又,所以,所以,所以,所以,所以函数值域为.故答案为:15.已知等差数列的前项和为,若,则______.【答案】44【解析】【分析】利用通项公式,进行基本量代换求出,再利用前n项和公式和性质求出.【详解】设公差为,有,可得,有,.故答案为:44【点睛】等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换.16.在四棱锥中,底面为矩形,平面,则以为球心,以为半径的球,被底面截得的弧长为________;若是上的动点,则的最小值为________.【答案】①.##②.【解析】【分析】以为球心,以为半径的球与底面的交线为以为圆心,为半径的圆弧,求出圆心角即可求出弧长,将面翻折到与平面共面,连接交于点,此时取得最小值为,再在平面四边形中求出的长度,即可得解.【详解】因为平面,底面为矩形,则以为球心,以为半径的球与底面的交线为以为圆心,为半径的圆弧,在上取一点,使得,连接,则的长度即为以为球心,以为半径的球,被底面截得的弧长,由,,所以,则,所以,则的长度为,即以为球心,以为半径的球,被底面截得的弧长为,将面翻折到与平面共面,连接交于点,此时取得最小值为(平面图形如下所示),因为,,,所以,,,,,所以,又,所以,,所以,又,所以(负值舍去),即的最小值为.故答案为:;【点睛】关键点睛:对于处理线段和最值问题,一般是化折为直,利用两点间线段最短解决.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知数列满足:,数列为等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求和:.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)首先求出,,即可求出等比数列的通项公式,从而求出的通项公式;(2)利用分组求和法计算可得.【小问1详解】因为,,数列为等比数列,所以,,则,即是以为首项,为公比的等比数列,所以,则.【小问2详解】.18.在锐角中,.(1)求;(2)在内有点,使得,求.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)先求得,然后利用正弦定理求得.(2)先求得,然后利用余弦定理、同角三角函数的基本关系式求得.【小问1详解】依题意,,由余弦定理得,即,,解得或,当时,,钝角,不符合题意,所以.由于,是锐角,所以,由正弦定理得.【小问2详解】设,则,则,则,在三角形中,由余弦定理得,,解得或(舍去).所以,在三角形中,由余弦定理得,由于为锐角,所以,所以.19.已知函数是奇函数.(1)求实数的值;(2)设关于的不等式的解集为.若集合中的整数元素只有两个,求实数的取值范围.【答案】19.20【解析】【分析】(1)由题意可得,检验,即可求解;(2)利用函数的奇偶性和单调性解不等式,可得,分类讨论当、、、、时对应的解集,结合题意即可求解.【小问1详解】由题意知,是定义域为R上的奇函数,则,即,解得,经检验,符合题意,所以;小问2详解】由(1)知,,则,又函数在R上单调递增,所以函数在R上单调递增,由,得,即.当时,,解得,此时集合A不满足题意;当时,,对于方程,若,则,不等式的解集为,此时集合A不满足题意;若,则,不等式的解集为,又集合A有2个整数元素,所以,则,解得;若,则,不等式的解集为,此时集合A不满足题意;若,则,不等式的解集为,又集合A有2个整数元素,所以,则,无解.综上,实数a的取值范围为.20.如图,在长方体中,为中点,.(1)求;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算可得.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系,令,则,,,,,所以,,因为,所以,解得(负值舍去),所以.【小问2详解】由(1)可得,,,设平面的法向量为,则,取,设平面的法向量为,则,取,设二面角为,由图可知二面角为锐二面角,所以,)公众号:全元高考所以,即二面角的正弦值为.21.若,,,且的对称中心到对称轴的距离的最小值为.(1)求的单调区间;(2)求在上的值域.【答案】(1)单调递增区间为,,单调递减区间为,.(2)【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简,再根据周期求出,即可得到函数解析式,最后根据正弦函数的性质计算可得;(2)由的取值范围,求出的范围,再由正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】)公众号:全元高考因为,,且,所以,又的对称中心到对称轴的距离的最小值为且,所以,即,解得,所以,令,,解得,,即的单调递增区间为,,令,,解得,,即的单调递减区间为,.【小问2详解】因为,则,所以,所以,则在上的值域为.22.已知函数.(1)当时,解关于的不等式;(2)请判断函数是否可能有两个零点,并说明理由;(3)设,若对任意的,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)不可能,理由见解析(3)【解析】【分析】(1)结合对数函数的定义域,解对数不等式求得不等式的解集.(2)由,求得,,但推出矛盾,由此判断没有两个零点.(3)根据函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1列不等式,结合分离常数法来求得的取值范围.【小问1详解】当时,不等式可化为,有,有解得,故不等式,的解集为.【小问2详解】令,有,有,,,,则,)公众号:全元高考若函数有两个零点,记为,必有,,且有,此不等式组无解,故函数不可能有两个零点【小问3详解】当,,时,,函数单调递减,有,有,有有,整理为,由对任意的恒成立,必有解得,又由,可得,由上知实数的取值范围为.
精品解析:福建省福州市闽江口协作体2024届高三上学期11月期中联考数学试题(解析版)
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