玩转外接球 内切球 棱切球 学生版

2023-11-14 · U1 上传 · 23页 · 1.3 M

玩转外接球、内切球、棱切球【考点预测】知识点一:正方体、长方体外接球1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.PA(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示.2(4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示图1图2图3图4知识点二:正四面体外接球2如图,设正四面体ABCD的的棱长为a,将其放入正方体中,则正方体的棱长为a,显然正四面体和正2236方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=a⋅=a,即正四面体外接球半径为R=2246a.4知识点三:对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中,AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题.b2+c2=m2m2+n2+t2如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则a2+c2=n2,三式相加可得a2+b2+c2=,而显2a2+b2=t2222Ra2+b2+c2=4R2R=m+n+t然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为,则,所以8.知识点四:直棱柱外接球如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步:确定球心O的位置,O1是ΔABC的外心,则OO1⊥平面ABC;11第二步:算出小圆O的半径AO=r,OO=AA=h(AA=h也是圆柱的高);1112121222222h22h第三步:勾股定理:OA=OA+OO⇒R=+r⇒R=r+,解出R1122知识点五:直棱锥外接球如图,PA⊥平面ABC,求外接球半径.解题步骤:第一步:将ΔABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:O1为ΔABC的外心,所以OO1⊥平面ABC,算出小圆O1的半径O1D=r(三角形的外接圆直径abc1算法:利用正弦定理,得===2r),OO=PA;sinAsinBsinC12第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)2=PA2+(2r)2⇔2R=PA2+(2r)2;22222②R=r+OO1⇔R=r+OO1.知识点六:正棱锥与侧棱相等模型r2+h21.正棱锥外接球半径:R=.2h2.侧棱相等模型:如图,P的射影是ΔABC的外心⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤:第一步:确定球心O的位置,取ΔABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步:先算出小圆O1的半径AO1=r,再算出棱锥的高PO1=h(也是圆锥的高);r2+h2第三步:勾股定理:OA2=OA2+OO2⇒R2=(h-R)2+r2,解出R=.112h知识点三:侧棱为外接球直径模型方法:找球心,然后作底面的垂线,构造直角三角形.知识点四:共斜边拼接模型如图,在四面体ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,BD为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点O为公共斜边BD的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,OA=OC=OB=OD,即点O到A,B,C,D四点的距离相等,故点O就是四面体ABCD外接球的球心,公共的斜边BD就是外接球的一条直径.知识点五:垂面模型如图1所示为四面体P-ABC,已知平面PAB⊥平面ABC,其外接球问题的步骤如下:(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D,则O2D⊥AB.(4)在四棱锥A-DO1OO2中,AD垂直于平面DO1OO2,如图2所示,底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径.图1图2知识点六:最值模型这类问题是综合性问题,方法较多,常见方法有:导数法,基本不等式法,观察法等知识点七:二面角模型如图1所示为四面体P-ABC,已知二面角P-AB-C大小为α,其外接球问题的步骤如下:(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D,则O2D⊥AB.(4)在四棱锥A-DO1OO2中,AD垂直于平面DO1OO2,如图2所示,底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径.知识点八:坐标法对于一般多面体的外接球,可以建立空间直角坐标系,设球心坐标为O(x,y,z),利用球心到各顶点的距离相等建立方程组,解出球心坐标,从而得到球的半径长.坐标的引入,使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来,转化为向量的计算,大大降低了解题的难度.知识点九:圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图1,设圆锥的高为h,底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△OCB中,由勾股定理建立方程来计算R.如图2,当PC>CB时,球心在圆锥内部;如图3,当PC接球的半径为R,三者之间满足+r2=R2.23.球内接圆台r2-r2-h22R2=r2+21,其中r,r,h分别为圆台的上底面、下底面、高.22h12知识点四:锥体内切球3V方法:等体积法,即R=体积S表面积知识点五:棱切球方法:找切点,找球心,构造直角三角形【题型归纳目录】题型一:正方体、长方体模型题型二:正四面体模型题型三:对棱相等模型题型四:直棱柱模型题型五:直棱锥模型题型六:正棱锥与侧棱相等模型题型七:侧棱为外接球直径模型题型八:共斜边拼接模型题型九:垂面模型题型十:最值模型题型十一:二面角模型题型十二:坐标法模型题型十三:圆锥圆柱圆台模型题型十四:锥体内切球题型十五:棱切球【典例例题】题型一:题型一:正方体、长方体模型例1.(2022·陕西安康·高二期末(理))长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为(       )A.43πB.12πC.48πD.323π例2.(2022·全国·高一阶段练习)已知三棱锥P-BCD中,BC⊥CD,PB⊥底面BCD,BC=1,PB=CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为(       )79A.πB.π422725C.πD.π8932例3.(2022·北京市第三十五中学高一阶段练习)已知正方体外接球的体积是π,那么正方体的体对角3线等于(       )234243A.B.4C.D..333例4.(2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中)据《九章算术》记载,“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示,现有一个“鳖臑”,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=2,三棱锥外接球表面积为(       )A.10πB.12πC.14πD.16π例5.(2022·河北·高一期中)《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P-ABCD,PA⊥平面ABCD,AB=4,△PAD的面积为4,则该“阳马”外接球的表面积的最小值为(       )A.24πB.28πC.32πD.36π例6.(2022·河南·模拟预测(文))在三棱锥A-BCD中,已知AC⊥平面BCD,BC⊥BD,且AC=3,BC=2,BD=5,则该三棱锥外接球的表面积为(       )A.12πB.7πC.9πD.8π题型二:正四面体模型例7.(2022·全国·高三专题练习(理))棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体,且该正四面体可以在正方体内任意转动,则x的最大值为(          )1336A.aB.aC.aD.a2263例8.(2022·河南·西平县高级中学模拟预测(理))一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的体积为(       )A.6πB.2πC.3πD.22π例9.(2022·贵州师大附中高二开学考试(理))已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为(     )A.4πB.6πC.8πD.10π例10.(2022·河北·石家庄二中一模(理))如图所示,正四面体ABCD中,E是棱AD的中点,P是棱AC上一动点,BP+PE的最小值为14,则该正四面体的外接球表面积是(       )A.12πB.32πC.8πD.24π例11.(2022·贵州·凯里一中高二期末(理))我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”,在正四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,CD的中点,当EF=2时,四面体ABCD的外接球的表面积为()A.12πB.4πC.3πD.6π例12.(2022·全国·高三专题练习)金刚石是碳原子的一种结构晶体,属于面心立方晶胞(晶胞是构成晶体的最基本的几何单元),即碳原子处在立方体的8个顶点,6个面的中1心,此外在立方体的对角线的处也有4个碳原子,如图所示(绿色4球),碳原子都以共价键结合,原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子.设金刚石晶胞的棱长为a,则正四面体SPQR的棱长为__________;正四面体SPQR的外接球的体积是__________.题型三:对棱相等模型例13.(2022•让胡路区校级模拟)在四面体ABCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.6πD.8π例14.已知四面体ABCD中,AB=CD=5,BC=AD=10,AC=BD=13,若该四面体的各个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为( )A.42πB.43πC.14πD.16π例15.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=BC=3,PB=AC=2,PC=AB=5,则三棱锥P-ABC外接球的体积为( )A.2πB.3πC.6πD.6π例16.(2022•永安市校级期中)在三棱锥P-ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=11,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.26πB.12πC.8πD.24π例17.(2022•罗湖区月考)已知在四面体ABCD中,AB=CD=22,AD=AC=BC=BD=5,则四面体ABCD的外接球表面积为 .例18.(2022•三模拟)在四面体ABCD中,AC=BD=2,AD=BC=5,AB=CD=7,则其外接球的表面积为 .题型四:直棱柱模型例19.(2022·山西·太原五中高一阶段练习)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=6,则该直三棱柱外接球的表面积为(       )A.72πB.114πC.136πD.144π例20.(2022·安徽·合肥市第六中学高一期中)设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上,AB=AC=AA1,∠BAC=120°,且底面△ABC的面积为23,则此直三棱柱外接球的表面积是(       )4010πA.16πB.3C.40πD.64π例21.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的每个顶点都在球O的球面上,且AB=3,AA1=4,则球O的表面积为(       )A.42πB.48πC.50πD.52π例22.(2022·全国·高二课时练习)表面积为81π的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是7,则这个正四棱柱的底面边长为______.例23.(2022·河南·高三阶段练习(

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