玩转外接球、内切球、棱切球【考点预测】知识点一:正方体、长方体外接球1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.PA(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示.2(4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示图1图2图3图4知识点二:正四面体外接球2如图,设正四面体ABCD的的棱长为a,将其放入正方体中,则正方体的棱长为a,显然正四面体和正2236方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=a⋅=a,即正四面体外接球半径为R=2246a.4知识点三:对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中,AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题.b2+c2=m2m2+n2+t2如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则a2+c2=n2,三式相加可得a2+b2+c2=,而显2a2+b2=t2222Ra2+b2+c2=4R2R=m+n+t然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为,则,所以8.知识点四:直棱柱外接球如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步:确定球心O的位置,O1是ΔABC的外心,则OO1⊥平面ABC;11第二步:算出小圆O的半径AO=r,OO=AA=h(AA=h也是圆柱的高);1112121222222h22h第三步:勾股定理:OA=OA+OO⇒R=+r⇒R=r+,解出R1122知识点五:直棱锥外接球如图,PA⊥平面ABC,求外接球半径.解题步骤:第一步:将ΔABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:O1为ΔABC的外心,所以OO1⊥平面ABC,算出小圆O1的半径O1D=r(三角形的外接圆直径abc1算法:利用正弦定理,得===2r),OO=PA;sinAsinBsinC12第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)2=PA2+(2r)2⇔2R=PA2+(2r)2;22222②R=r+OO1⇔R=r+OO1.知识点六:正棱锥与侧棱相等模型r2+h21.正棱锥外接球半径:R=.2h2.侧棱相等模型:如图,P的射影是ΔABC的外心⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤:第一步:确定球心O的位置,取ΔABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步:先算出小圆O1的半径AO1=r,再算出棱锥的高PO1=h(也是圆锥的高);r2+h2第三步:勾股定理:OA2=OA2+OO2⇒R2=(h-R)2+r2,解出R=.112h知识点三:侧棱为外接球直径模型方法:找球心,然后作底面的垂线,构造直角三角形.知识点四:共斜边拼接模型如图,在四面体ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,BD为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点O为公共斜边BD的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,OA=OC=OB=OD,即点O到A,B,C,D四点的距离相等,故点O就是四面体ABCD外接球的球心,公共的斜边BD就是外接球的一条直径.知识点五:垂面模型如图1所示为四面体P-ABC,已知平面PAB⊥平面ABC,其外接球问题的步骤如下:(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D,则O2D⊥AB.(4)在四棱锥A-DO1OO2中,AD垂直于平面DO1OO2,如图2所示,底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径.图1图2知识点六:最值模型这类问题是综合性问题,方法较多,常见方法有:导数法,基本不等式法,观察法等知识点七:二面角模型如图1所示为四面体P-ABC,已知二面角P-AB-C大小为α,其外接球问题的步骤如下:(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D,则O2D⊥AB.(4)在四棱锥A-DO1OO2中,AD垂直于平面DO1OO2,如图2所示,底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径.知识点八:坐标法对于一般多面体的外接球,可以建立空间直角坐标系,设球心坐标为O(x,y,z),利用球心到各顶点的距离相等建立方程组,解出球心坐标,从而得到球的半径长.坐标的引入,使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来,转化为向量的计算,大大降低了解题的难度.知识点九:圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图1,设圆锥的高为h,底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△OCB中,由勾股定理建立方程来计算R.如图2,当PC>CB时,球心在圆锥内部;如图3,当PC
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