天津市南开中学2024届高三上学期第一次月考数学答案

2023-2024学年度高中数学期中考试卷考试时间：150分钟满分：150分命题人：魏菲审题人：马风格注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时150分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。3.祝各位考生考试顺利！第I卷（选择题）第I卷（选择题）注意事项：1. 每小题选出答案后，请填写在答题卡上，答在本试卷上无效。2. 本卷共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．2．已知R，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（    ）A． B．C． D．4．已知，，，则A． B． C． D．5．设向量，，若，则等于（    ）A． B． C． D．6．将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．过点 D．在区间上单调递增7．已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．A． B． C． D．8．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是9．已知函数，若函数有m个零点，函数有n个零点，且，则非零实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题10．是虚数单位，复数的虚部是.11．在的展开式中，求含项的系数为．12．．13．已知为正实数，则的最小值为.14．已知向量，记函数，若在上单调递增．则的取值范围为．三、双空题15．如图.在平面四边形中，，；若点为边上的动点，则的最小值为.四、解答题16．在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．(1)求角；(2)求边的大小；(3)求的值．17．在中，角的对边分别是，且满足（1）求的值（2）若，且的面积，（i）求边的值；（ii）求的值.18．已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求在区间的值域.19．已知函数的图象过点，．(1)求函数的解析式；(2)若函数区间上单调递减，求实数的取值范围；(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围．20．已知函数，．(1)当时，求在处的切线方程.(2)讨论函数的单调性；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.2．A【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可.【详解】由，得，由，得，即或；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．D【分析】求出函数定义域,排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，从而得正确选项．【详解】由得，即函数定义域是，排除AB，时，，，，时，，，，因此排除C，故选：D．4．C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】,故故选C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．5．A【解析】由题可得，即可求出，再利用正切的二倍角公式即可求出.【详解】，，，，则，.故选：A.6．D【分析】利用函数图象变换可求得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；计算出的值，可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象，对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，D对.故选：D.7．A【分析】先根据函数是定义在上的偶函数，得到，再利用在单调递增求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，又因为，，，且在单调递增，所以，即，故选：A8．D【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由函数的图象可得A＝2，，求得ω＝2．在根据五点法作图可得2φ＝π，求得φ，∴函数f（x）＝2sin（2x）．当时，f（x）＝0，不是最值，故A不成立．当x时，f（x）＝0＝﹣2，不等于零，故B不成立．将函数2sin（2x）的图象向左平移个单位得到函数y＝sin[2（x）]＝sin（2x）的图象，故C不成立．当x∈[，0]时，2x∈[，]．∵sin（）＝sin（），sin（）＝﹣1，故方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根时，则m的取值范围是，故D成立；故选D．【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9．C【分析】作出的函数图像，利用图像列出关于的不等式，解出的范围即可【详解】与与共交7个点图象如下：所以：（Ⅰ），解得（Ⅱ），解得综上：．故选：C10．【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算．【详解】．虚部为-2.故答案为：．11．28【分析】求出二项式展开式的通项，令x的次数为5求出对应的r的取值，从而可得其系数．【详解】二项式展开式的通项为，令，得，可得含项的系数为．故答案为：28．12．/【分析】根据指数幂和对数的运算求解.【详解】,故答案为:.13．.【解析】令，则，利用基本不等式即可求最值.【详解】解：令，则，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.【点睛】本题基本不等式求最值，其中换元法的使用让式子更简化直观，本题难度不大.14．【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求的取值范围.【详解】向量，，由，当，有，则，依题意有，解得.所以的取值范围为.故答案为：.15．2【分析】利用余弦定理可求，设，利用数量积的运算律可用表示，利用二次函数的性质可求最小值.【详解】连接，因为，故，在中，，故.所以，所以，所以，故，而，所以为等边三角形，故且，延长交的延长线于，则设，则，故，，其中，故当时，有最小值.故答案为：.16．(1)(2)3(3)【分析】（1）由三角形中常用恒等式化简得到，从而求出；（2）在第一问的基础上，利用余弦定理进行求解；（3）余弦定理求出，从而求出，再用余弦的差角公式进行求解.【详解】（1）由可得:，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴．（2）由余弦定理可得：，即，解得：或-1∴（3）因为，，由余弦定理得：，所以，所以，，所以17．（1）；（2）（i）；（ii）【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值.（2）（i）利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式列方程，由此求得的值；（ii）由题意求出，再由正弦定理可得，根据二倍角公式以及两角差的正弦公式即可求解.【详解】（1）由题意，又因为，为内角，所以.（2）（i）因为，所以得，的面积，即，得，所以；（ii），因为，，解得，，又因为，，解得，因为，所以，，，.18．(1)最小正周期为，单调减区间为；(2).【分析】（1）辅助角公式化简函数式，由正弦函数性质求最小正周期和递减区间；（2）写出图象平移后的解析式，进而求区间值域.【详解】（1）由，则，所以的最小正周期为.由，解得，所以的单调递减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以.当时，，，所以函数的值域为.19．(1)(2)(3)．【分析】（1）根据函数过点代入求出的值，即可得解；（2）根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减且大于零恒成立，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可；（3）首先求出，再求出，依题意可得，即，设，利用单调性的定义证明的单调性，从而得到，结合单调性，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，所以，所以.（2）由于，所以在上单调递增，函数在区间上单调递减，由复合函数单调性可知，函数在上单调递减且大于零恒成立，则，解得，∴实数的取值范围.（3）因为且，所以且，因为，对称轴方程为，所以在上单调递减，在上单调递增，则的最大值是或．因为，即．所以，若，只需，即，则，设，任取，且，则，因为，所以，，，即，所以，所以，即，所以在区间上单调递增，且，所以，即，所以，即的取值范围是．【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔.20．(1)(2)答案见解析.(3)【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导得，再分和两种情况讨论求解即可；（3）根据题意将问题转化为对恒成立，再结合的单调性进一步转化为对恒成立，最后求解函数的最值即可得答案.(1)解：当时，，所以，，所以，即切线斜率为所以在处的切线方程为.(2)解：因为，，所以，令得，所以当，即时，在区间恒成立，函数在上单调递减；当，即时，时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(3)解：因为对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，设，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，所以在上恒成立，故函数在上单调递增，所以，所以，因为，所以，即实数的取值范围为