天津市南开中学2023-2024学年高三第一学学期第一次月考数学试卷

考试时间：120分钟南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（    ）（A） （B） （C） （D）2．“”是“”的（    ）（A）充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件3．函数的部分图象可能是（    ）（A） （B）（C） （D）4．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（    ）（A） （B）（C） （D）5．计算：的值（    ）（A） （B） （C） （D）6．已知，，，则（    ）（A） （B） （C） （D）7．已知，则（    ）（A） （B） （C） （D）8．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，有下列命题：①函数的图象关于直线对称 ②函数的图象关于点对称③函数在上单调递增 ④函数在上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（    ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）49．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）（A）（B）（C） （D）第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，共30分．）10.已知是虚数单位，化简的结果为．11．在二项式的展开式中，常数项为．12．函数的部分图象如图所示，则．（第13题图）（第12题图）13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为米．14.已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（），都有，若函数有且仅有五个零点，则的取值范围.15.记（）在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为.三、解答题（本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值.17.（本小题满分15分）在中，角所对的边分别为，其中，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值.18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点.（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离.19.（本小题满分15分）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左顶点且斜率为()的直线与交于两点，交轴于点，点为线段的中点，若点关于轴的对称点为，过点作与(为坐标原点)垂直的直线交直线于点，且面积为，求的值．20．（本小题满分16分）已知函数.（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若使有两个不同的零点，证明：.