2024届NCS高三摸底测试数学参考答案及评分意见一.单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACDBCDAB二.多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.题号9101112答案BCDABACDAB三.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.339213.2;14.5;15.;16..132四.解答题:共70分.17题10分,其余大题12分一道,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)由已知,sinAcosBsinBcosAabsinC,即sin(ABabC)sin,sinCabsinC,所以ab1,……………………3分1133故ABC的面积为absinC1.……………………5分2224a2b2c2a2b211(2)由余弦定理,cosC可得,2ab22所以a2b22,……………………7分所以()ab2a2b22ab4,即ab2,所以ABC的周长为3.……………………10分18.【解析】(1)因为MN,分别为A,CAB的中点,所以NM∥BC,因为ABBC,所以ABMN,……………………2分因为ABPM,PMMNM,所以AB平面PMN,所以ABPN;……………………5分(2)因为ABBC2,BPPM3,则NMNB1,所以PNBPNM,因为ABPN,所以PNNM,因为NBNMN,所以PN平面ABC,因为ABBC2,BPPM3,所以PN22,……………………7分z以NB为x轴,NM为y轴,NP为z轴,P建立如图所示的空间直角坐标系,则M(0,1,0),B(1,0,0),P(0,0,22),所以MB(1,1,0),MP(0,1,22),设平面PMB的法向量为nxyz(,,),1yMACMBn10xy0则,所以,Ny22z0xMPn10B—高三数学第1页(共4页)—{#{QQABBYaQggAIQAAAARgCAQGQCAEQkACCCAgGxBAEoAAByANABAA=}#}令z1,得到n1(22,22,1),平面PMN的法向量为n2(1,0,0)……………………10分nn22234所以12,cosn1,n2|n1||n2|1717234则二面角NPMB的余弦值为.……………………12分1719.【解析】(1)棱长为n1的正方体的体积为(n1)3,棱长为n的正方体的体积为n3,……………………3分333232所以an(n1)nn3n3n1n3n3n1;……………………5分332(2)由(1)可知an(n1)n3n3n1,……………………7分则222a1a2an31311323213n3n1n(n1)3(1222n2)3(12n)n3(1222n2)3n2又333333332,a1a2an2132(1)nn(1)1nn33nnn(n1)所以3(1222n2)3nn33n23n,22n33n2nn(n1)(2n1)即122232n2……………………12分66.313320.【解析】(1)因为OFM的面积为,则有c,解得c1,……2分422419231a4又因为M(1,)在椭圆C上,则a24b2,解得,2222b3ab1x2y2所以椭圆C的标准方程为1;……………………5分43(2)根据椭圆的对称性,欲证AD,关于x轴对称,只需证kFAkFD,即证kFAkFB0,设A(x2,y2),B(x1,y1),直线AB方程为xmy4,xmy4由消去得22,22x(3m4)y24my3603x4y1224m36所以yy,yy……………………9分123m24123m24—高三数学第2页(共4页)—{#{QQABBYaQggAIQAAAARgCAQGQCAEQkACCCAgGxBAEoAAByANABAA=}#}y1y2yx1(21)yx2(11)yxyxyy1221()12则kFAkFBx11x21(x11)(x21)(x11)(x21)3624m因为yxyx(yy)2myy3(yy)2m3012211212123m243m24所以kFAkFB0,即AD,关于x轴对称.……………………12分21.【解析】(1)记选出甲乙两名队员参赛为事件A1,选出甲乙、丙丁各一人参赛为事件A2,A选出丙丁两名队员参赛为事件3,活动“党建优秀代表队”称号为事件B.C21CC112C21则2,22,2……………………分PA()12PA()22PA()32.3C46C43C46PBPABABAB()(123)13221232211121()2[()22]()64333343323232121111515()2[()22].……………………6分6322212181812(2)X的可能取值为:0,60,100,120,160,200,113111PX(0)()2,PX(60)2=,41643483211311PX(100)2=,PX(120)()2()2,434443163211321PX(160)()22,PX(200)()()22.4334434所以随机变量X的分布列为:X060100120160200P11111116841644111111所以EX060100120160200130.16841644……………………12分122.【解析】(1)g(x)axax,(a1),1axlnalna1则g(x)axlna()x2axax,……………………2分x2x2111设h()xx2axax,则h(x)2xaxx2axlnaaxlna0,x2故h()x在(0,)单调递增,又因为h(1)0,故g()x在(0,1)单调递减,在(1,)单调递增.则g()x的极小值为g(1)2a,无极大值.……………………5分—高三数学第3页(共4页)—{#{QQABBYaQggAIQAAAARgCAQGQCAEQkACCCAgGxBAEoAAByANABAA=}#}11(2)因为f()1xlogx,所以1xlogxax,xaa1111axlog(ax),……………………7分xax1111令tax,显然tax在(0,)单调递减,xx1故有f()1xlogx两个正根,等价于h(t)tlogt有两个零点.xaa11h(t)1,显然t(0,)时,h(t)0,lnatlna1t(,)时,h(t)0,lna11故h()t在(0,)递减,(,)递增,lnalna1111h(t)h()loglog(alnalna),……………………9分minlnalnaalnaa1111令log(alnalna)0,所以alnalna1,则alna.alna1111x设x,则ae0,alnaax0(ex0)x0e.0lna1111所以alna,则e,则a(1,ee),lnalna11因为h()10,()haaaaaa(aa11)0.aa111此时存在两零点x,x,其中x(,),x(,),且h(x)h(x)0.121alna2lna121故a(1,ee).……………………12分—高三数学第4页(共4页)—{#{QQABBYaQggAIQAAAARgCAQGQCAEQkACCCAgGxBAEoAAByANABAA=}#}
江西省南昌市2024届高三上学期开学摸底考数学 答案
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