2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A,B,然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知,,由得,所以,所以.故选:D2.设是等比数列,且,,则()A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值,再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为,则,,因此,.故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,属于基础题.3.下列求导正确的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本函数的求导公式,及导数的运算法则和复合函数的求导法则,进行运算即可判断选项.【详解】对于A,,故A错误;对于B,根据复合函数的求导法则,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.故选:C.4.已知角终边上有一点,则是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】根据所在象限可判断点P所在象限,然后根据对称性可得.【详解】因为是第二象限角,所以,所以点P在第四象限,即角为第四象限角,所以为第一象限角,所以为第三象限角.故选:C5.已知直线和圆交于两点,则的最小值为()A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】求出直线过定点,再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】,令,则,所以直线过定点,当得,则在圆内,则直线与圆必有两交点,因为圆心到直线的距离,所以.故选:D.6.已知样本数据,,,,,的平均数为16,方差为9,则另一组数据,,,,,,12的方差为().A. B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】由均值、方差性质求数据,,,,,的平均数、方差,应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据,,,,,的平均数为,方差为,由,,得,,则,,,,,,12的平均数为,方差为.故选:C7.已知定义在上的偶函数满足,则下列说法正确的是()AB.函数的一个周期为2C.D.函数的图象关于直线对称【答案】C【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性,结合偶函数的性质判断函数的周期,最后逐一判断即可.【详解】函数关于点中心对称,因此选项D不正确;又因为函数为偶函数,所以,由,所以函数的周期为,所以选项B不正确;因为函数是周期为的偶函数,所以,因此选项A不正确;在中,令,得,因为函数的周期为,因此选项C正确,故选:C8.已知点是抛物线上不同的两点,为抛物线的焦点,且满足,弦的中点到直线的距离记为,若不等式恒成立,则的取值范围()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令,利用余弦定理表示出弦的长,再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出,然后利用均值不等式求解作答.【详解】在中,令,由余弦定理得,则有,显然直线是抛物线的准线,过作直线的垂线,垂足分别为,如图,而为弦的中点,为梯形的中位线,由抛物线定义知,,因此,当且仅当时取等号,又不等式恒成立,等价于恒成立,则,所以的取值范围是.故选:D【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.设复数满足,则下列说法错误的是( )A.为纯虚数 B.的虚部为2iC.在复平面内,对应的点位于第二象限 D.=【答案】ABC【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z,再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数,由得,则,故A错误;z的虚部为,故B错误;复平面内,对应的点为,对应的点位于第三象限,故C错误;,故D正确.故选:ABC.10已知向量,,且,则()A. B.C.向量与向量的夹角是 D.向量在向量上的投影向量坐标是【答案】ACD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量判断A,利用向量模的坐标运算判断B,利用数量积的夹角坐标公式求解判断C,利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量,,所以,由得,解得,所以,故A正确;又,所以,故B错误;设向量与向量的夹角为,因为,,所以,又,所以,即向量与向量的夹角是,故C正确;向量在向量上的投影向量坐标是,故D正确.故选:ACD.11.已知函数,下列说法正确的是()A.函数的值域为B.若存在,使得对都有,则的最小值为C.若函数在区间上单调递增,则的取值范围为D.若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点,则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】化简的解析式,根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】已知函数,可知其值域为,故选项A正确;若存在,使得对都有,所以的最小值为,故选项B错误;函数的单调递增区间为,,所以,令,则的取值范围为,故选项C正确;若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点,,由如图可得:,的取值范围为,故选项D正确;故选:ACD12.已知函数,则下列说法正确的是()A.当时,在上单调递增B.若的图象在处的切线与直线垂直,则实数C.当时,不存在极值D.当时,有且仅有两个零点,且【答案】ABD【解析】【分析】对于A,利用导数即可判断;对于B,根据导数的几何意义可判断;对于C,取,根据导数判断此时函数的单调性,说明极值情况,即可判断;对于D,结合函数单调性,利用零点存在定理说明有且仅有两个零点,继而由可推出,即可证明结论,即可判断.【详解】因为,定义域为且,所以,对于A,当时,,所以在和上单调递增,故A正确;对于B,因为直线的斜率为,又因为的图象在处的切线与直线垂直,故令,解得,故B正确;对于C,当时,不妨取,则,令,则有,解得,当时,,在上单调递增;当时,,在上分别单调递减;所以此时函数有极值,故C错误;对于D,由A可知,当时,在和上单调递增,当时,,,所以在上有一个零点,又因为当时,,,所以在上有一个零点,所以有两个零点,分别位于和内;设,令,则有,则,所以的两根互为倒数,所以,故D正确.故选:ABD【点睛】难点点睛:本题综合考查了导数知识的应用,综合性较,解答的难点在于选项D的判断,要结合函数的单调性,利用零点存在定理判断零点个数,难就难在计算量较大并且计算复杂,证明时,要注意推出,进而证明结论三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在的展开式中,的系数为______.【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在的展开式中,的系数为;在的展开式中,的系数为;所以在的展开式中,的系数为;故答案为:24014.2023年杭州亚运会招募志愿者,现从某高校的6名志愿者中任意选出3名,分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作,其中甲、乙2人不能担任语言服务工作,则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作,再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作,则不同的选法共有种.故答案为:80.15.已知,若,,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出函数图象,设,数形结合可知的范围,转化为关于的函数,利用导数求最值即可.【详解】作函数图象,如图,设,则,,又,,,设,当时,,函数为增函数,,即实数的取值范围是故答案为:16.在正三棱锥中,底面的边长为4,E为AD的中点,,则以D为球心,AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________.【答案】【解析】【分析】首先证明两两垂直,再求出所对应的圆心角,则计算出其弧长,即可得到交线长.【详解】记CD中点为F,作平面BCD,垂足为O,由正三棱锥性质可知,O为正三角形BCD的中心,所以O在BF上,因为平面BCD,所以,由正三角形性质可知,,又,平面ABO,所以平面ABO,因为平面ABO,所以,又平面ACD,所以平面ACD,因为平面ACD,所以由正三棱锥性质可知,两两垂直,且,则,如图,易知以D为球心,AD为半径的球截该棱锥各面所得交线,是以D为圆心,AD为半径的三段圆弧,则,,则其圆心角分别为,所以其交线长为,故答案为:.【点睛】关键点睛:本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到两两垂直,再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等差数的性质,结合通项公式与前项和公式即可得解;(2)利用分组求和差,结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】(1)设数列等差数列的公差为d,因为,所以,则,因为,即,所以,所以,,所以,即.【小问2详解】因为,所以,所以.18.已知函数,(1)求函数的最值;(2)设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,且,求的面积.【答案】(1)最大值为2,最小值为(2)或【解析】【分析】(1)把化为“一角一函数”的形式:先用诱导公式把角化为,再用二倍角公式把二次项化为一次项,同时把角化为,最后用辅助角公式把函数名化为正弦,即可求出函数的最值;(2)先求出角,由余弦定理得到关于的方程,再由正弦定理把已知的方程化简为含的方程,联立方程组即可解出的值,再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为,所以的最大值为2,最小值为.【小问2详解】结合(1)可知,所以.因为,所以,则.由余弦定理得,化简得①.又,由正弦定理可得,即②.结合①②得或.时,;时,.综上,的面积为或.19.在三棱锥中,△ABC是边长为4的正三角形,平面平面,,、分别为的中点.(1)证明:;(2)求二面角正弦值的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取AC得中点O,得,,可知平面,进而得结论;(2)建立空间直角坐标系,求出平面CMN与平面的法向量,根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC得中点O,连接SO,OB,,,,,又SO,BO交于点O,平面,平面,于是可知平面,又平面,;【小问2详解】∵平面平面,平面平面,平面,,∴平面,以OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系,那么,∴,设为平面CMN的一个法向量,那么,取,那么,∴,又为平面一个法向量,,,即二面角的正弦值为.20.为了丰富在校学生的课余生活,某校举办了一次趣味运动会活动,学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组,每组参加一个项目,进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜,比赛结束),假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为,在项目B中甲班每一局获胜的概率为,且每一局之间没有影响.(1)求甲班在项目A中获胜的概率;(2)设甲班获胜的项目个数为X,求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)记“甲班在项目A中获胜”为事件A,利用独立事件的乘法公式求解即可;(2)先算出“甲班在项目B中获胜”的概率,然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列,即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A中获胜”为事件A,则,所以甲班在项目A中获胜的概率为【小问2详解】记“甲班在项目B中获胜”为事件B,则,X的可能取值为0,1,2,则,,.所以X的分布列为X012P.所以甲班获胜的项目个数的数学期望为21.已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)设.如果对任意,,求的取值范围.【答案】(1)当a≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单
精品解析:江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题(解析版)
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