南京一中2023-2024学年度第一学期10月考试试卷高三数学命题人:张志军校对人:赵泽旭审核人:张志军一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.已知集合A={x∈Z|31-x∈N},B={x∈Z|x2-x-6≤0},则A∩B=( )A.{0,2} B.{-2,0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2,4}【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集运算,属于基础题.利用列举法表示集合A,B,再利用交集的定义求解作答.【解答】解:因为A={x∈Z|31-x∈N}={-2,0} ,B={x∈Z|x2-x-6⩽0}={x∈Z|-2⩽x⩽3}={-2,-1,0,1,2,3} ,所以 A∩B={-2,0},故选:C2.若z-11-i=1+2i(i为虚数单位),则|z-1|=( )A.22 B.10 C.5 D.2【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查复数的运算法则和复数的模,属于基础题.【解答】解:,所以|z-1|=32+12=10.3.设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查充分必要条件的判断,属于中档题.【解答】解: ①充分性证明:若{an}为递增数列,则有对∀n∈N*,an+1>an,公差d=an+1-an>0,故数列中从某项开始后均为正数且数列递增,则存在正整数N0,当n>N0时,an>0,充分性成立; ②必要性证明:若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,∵an=a1+(n-1)d,若d<0,则数列中从某项开始后均为负数,此时无法满足存在正整数N0,当n>N0时,an>0,又d≠0,若d>0,此时{an}为递增数列,则存在正整数N0,当n>N0时,an>0,可满足条件,所以“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的充要条件.4.已知a=0,5,b=2,-1,则b在a上的投影向量的坐标为( )A.0,1 B.-1,0 C.0,-1 D.1,0【答案】C 【解析】【分析】本题考查投影向量的定义及运算,属基础题.根据投影向量的定义即可求解.【解答】解: b 在 a 上的投影向量为 bcosa⋅baa=a⋅ba×aa=-55×0,1=0,-1 ,故选:C5.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D已滑动到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=40cm,B为AD'中点,当伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值为( )A.-1725 B.-42125 C.-35 D.-825【答案】A 【解析】【分析】本题二倍角公式及其应用,解三角形的实际应用,属于基础题.根据题意求出AD的值,得出AE,求出cos∠BAE,利用二倍角公式cos∠BAC=2cos2∠BAE-1,即可求出结果. 【解答】解:∵B为AD'中点,∴AB=12AD',∵AD'=40cm,∴AB=20cm,如图:过点B作BE⊥AD于点E,∵AB=BD,∴AD=2AE,因为伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm,所以AD=40-24=16cm,所以AE=8cm,所以cos∠BAE=AEAB=820=25,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAE,∴cos∠BAC=2cos2∠BAE-1=2×425-1=-1725.故选A.6.函数f(x)=12x2-xsin x的大致图象可能是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数图象的识别,考查函数奇偶性、单调性的判断,属于中档题.判断函数的奇偶性,利用导数研究函数的性质,运用排除法进一步得解.【解答】解:因为f-x=12-x2--xsin-x=12x2-xsinx=fx,定义域为R,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A、B;当00,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线E上一点,PF2⊥F1F2,∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q,,则双曲线E的离心率为( )A.2 B.2 C.52 D.3【答案】B 【解析】【分析】本题考查双曲线的性质,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.由三角形面积公式得|F1Q||F2Q|=53,利用角平分线得|PF1||PF2|=|F1Q||F2Q|=53,再根据双曲线的定义,结合题意,即可得出答案.【解答】解:作出图形,如图所示:∵PF2⊥F1F2,,即|F1Q||F2Q|=53,∵PQ是∠F1PF2的平分线,∴|PF1||PF2|=|F1Q||F2Q|=53,设双曲线半焦距为c(c>0),故P点横坐标为c,代入双曲线方程,可得|PF2|=b2a,则|PF1|=|PF2|+2a=b2a+2a,∴b2a+2ab2a=53,整理得b2=3a2,故c2-a2=3a2,即c2=4a2,∴c=2a,即e=ca=2.故选:B.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱C1D1上的一动点,记直线BC1与平面A1BE所成的角为θ,则cos θ得最小值为( )A.12 B.22 C.32 D.1【答案】C 【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角,利用空间向量求线面的夹角,考查计算能力,属于中档题由题意,如图建立空间直角坐标系,不妨设|AD|=1,|D1E|=a(0⩽a⩽1),求出平面A1BE的一个法向量n,则sinθ=n·BC1nBC1=1-a2×a2+2,求出最大值即可求出cos θ得最小值.【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设|AD|=1,|D1E|=a(0⩽a⩽1),则A1(1,0,1),B(1,1,0),E(0,a,1),C1(0,1,1),则A1B=(0,1,-1),A1E=(-1,a,0),BC1=(-1,0,1),设平面A1BE的一个法向量为n=(x,y,z),由n·A1B=0n·A1E=0,得y-z=0-x+ay=0,令y=1,则n=(a,1,1),所以,sinθ=n·BC1nBC1=1-a2×a2+2,令t=1-a(0⩽t⩽1),则sinθ=22×tt2-2t+3=22×13t2-2t+1,所以,当t=1时,(sinθ)max=12,(cosθ)min=32.故选C.二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.某校组织了300名学生参与测试,随机抽取了40名学生的考试成绩(单位:分),成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是( )A.图中a的值为0.015B.估计这40名学生考试成绩的众数为75C.估计这40名学生考试成绩的中位数为82D.估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为85【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图、众数、中位数、百分位数,属于基础题.对于A,根据频率之和为1计算即可;对于B,根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可;对于C,根据中位数可能所在的区间进行判断;对于D,根据百位分数的估算方法求解即可.【解答】解:根据频率和等于1得:10a=1-10×(0.010+0.035+0.03+0.01)=0.15,∴a=0.015,故A正确;由频率分布直方图可知,最高矩形对应区间的中点为75,则估计众数也为75,故B正确;0.010×10+0.015×10=0.25,0.010×10+0.015×10+0.035×10=0.6,可知中位数落在[70,80)内,即中位数的估计值不是82,故C错误;上图各组对应的频率分别为:0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,上四分位数在80,90内,设第75百分位数约为x,则:0.1+0.15+0.35+(x-80)×0.03=0.75,得x=85,故D正确.10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[π2,π]上是单调函数,且f(0)=f(π)=-f(-π2),则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.13 D.1【答案】AB 【解析】【分析】本题考查了正弦函数的周期性以及单调性,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.由已知单调区间可判断周期的范围,进而可以得出ω的范围,然后再对周期讨论求出对应的ω的可能值.【解答】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)[π2,π]上是单调函数,∴T2=12⋅2πω≥π-π2,∴T≥π,且ω≤2.∵f(0)=f(π),故x=π2是函数的图象的一条对称轴,∴ω×π2+φ=kπ+π2,k∈Z.∵f(0)=-f(-π2),∴所以f(x)图象的一个对称中心是(-π4,0),若T4=π2ω=π2+π4,求得ω=23;若3T4=34⋅2πω=π2+π4,求得ω=2.故选:AB.11.过抛物线C:y2=2px上一点A(1,-4)作两条相互垂直的直线,与C的另外两个交点分别为M,N,则( )A.C的准线方程是x=-4B.过C的焦点的最短弦长为8C.直线MN过定点(0,4)D.当点A到直线MN的距离最大时,直线MN的方程为2x+y-38=0【答案】AD 【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的综合,需要学生较强的综合能力,属于中档题.将A(1,-4)代入C中,即可求解抛物线方程,判断AB;设M(y1216,y1),N(y2216,y2),直线MN为x=my+n,并联立抛物线方程可得,y2-16my-16n=0,结合韦达定理以及向量的数量积公式,判断C;由选项C分析所得的定点P,要使点A到直线MN的距离最大有MN⊥AP,即可写出直线MN的方程,判断D.【解答】解:将A(1,-4)代入抛物线C中得p=8,则抛物线C为y2=16x,故抛物线C的准线方程为x=-4,故A正确,当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短,此时弦长为16,故B错误,设直线MN为x=my+n,M(y1216,y1),N(y2216,y2),联立抛物线可得,y2-16my-16n=0,∴y1+y2=16m,y1y2=-16n,∵AM⊥AN,∴AM⋅AN=(y1216-1,y1+4)⋅(y2216-1,y2+4)=(y12-16)(y22-16)256+(y1+4)(y2+4)=0,∵y1≠-4,y2≠-4,∴(y1+4)(y2+4)≠0,∴(y1-4)(y2-4)256+1=0,化简整理可得,y1y2-4(y1+y2)+272=0,∴-16n-64m+272=0,得n=-4m+17,∴直线MN为x=m(y-4)+17,∴直线MN过定点P(17,4),故C错误,当MN⊥AP时,点A到直线MN的距离最大,此时直线MN为2x+y-38=0,故D正确.故本题选AD.12.已知a>b>0,a+b=1.则下列结论正确的有( )A.a+2b的最大值为32 B.22a+22b+1的最小值为42C.a+sinb<1 D.b+lna>0【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了最值问题和利用导数研究单调性,基本不等式,属于中档题.先得出0