2019年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)1.(3分)点(﹣1,2)关于原点的对称点坐标是( )A.(﹣1,﹣2) B.(1,﹣2) C.(1,2) D.(2,﹣1)2.(3分)下列各数中比3大比4小的无理数是( )A. B. C.3.1 D.3.(3分)下列运算正确的是( )A.+= B.=3 C.=﹣2 D.=4.(3分)某公司全体职工的月工资如下:月工资(元)18000120008000600040002500200015001200人数1(总经理)2(副总经理)34102022126该公司月工资数据的众数为2000,中位数为2250,平均数为3115,极差为16800,公司的普通员工最关注的数据是( )A.中位数和众数 B.平均数和众数 C.平均数和中位数 D.平均数和极差5.(3分)如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的左视图是( )A. B. C. D.6.(3分)小明网购了一本《好玩的数学》,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少15元.”乙说:“至多12元.”丙说:“至多10元.”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( )A.10<x<12 B.12<x<15 C.10<x<15 D.11<x<147.(3分)如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是( )A.20 B.22 C.24 D.268.(3分)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )A.0 B.1 C.7 D.8二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)9.(3分)数轴上表示﹣3的点到原点的距离是 .10.(3分)不等式3x+1>2(x+4)的解为 .11.(3分)从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛,经过两轮初赛,他们的平均成绩都是89.7,方差分别是S甲2=2.83,S乙2=1.71,S丙2=3.52,你认为适合参加决赛的选手是 .12.(3分)国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片,已知1纳米=0.000000001米,将7纳米用科学记数法表示为 米.13.(3分)二元一次方程组的解为 .14.(3分)如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′,且点D′、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是 .15.(3分)若x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的值为 .16.(3分)规定:如果一个四边形有一组对边平行,一组邻边相等,那么称此四边形为广义菱形.根据规定判断下面四个结论:①正方形和菱形都是广义菱形;②平行四边形是广义菱形;③对角线互相垂直,且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形;④若M、N的坐标分别为(0,1),(0,﹣1),P是二次函数y=x2的图象上在第一象限内的任意一点,PQ垂直直线y=﹣1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是 .(填序号)三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)17.(5分)计算:6sin45°+|2﹣7|﹣()﹣3+(2019﹣)0.18.(5分)解方程:x2﹣3x﹣2=0.四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)19.(6分)先化简,再选一个合适的数代入求值:(﹣)÷(﹣1).20.(6分)如图,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标.五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)21.(7分)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图所示,解答下列问题(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式;(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.22.(7分)如图,⊙O与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,CE是⊙O的直径.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若BD=4,EC=6,求AC的长.六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)23.(8分)为了扎实推进精准扶贫工作,某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施,每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施,现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户.为检査帮扶措施是否落实,随机抽取了若干贫困户进行调查,现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图:请根据图中信息回答下面的问题:(1)本次抽样调查了多少户贫困户?(2)抽查了多少户C类贫困户?并补全统计图;(3)若该地共有13000户贫困户,请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户?(4)为更好地做好精准扶贫工作,现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶,请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率.24.(8分)图1是一种淋浴喷头,图2是图1的示意图,若用支架把喷头固定在点A处,手柄长AB=25cm,AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°,喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°,现在住户要求:当人站在E处淋浴时,水流正好喷洒在人体的C处,且使DE=50cm,CE=130cm.问:安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70).七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)25.(10分)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B点的坐标为(﹣1,0).(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使△PNC的面积是矩形MNHG面积的?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.26.(10分)在等腰三角形△ABC中,AB=AC,作CM⊥AB交AB于点M,BN⊥AC交AC于点N.(1)在图1中,求证:△BMC≌△CNB;(2)在图2中的线段CB上取一动点P,过P作PE∥AB交CM于点E,作PF∥AC交BN于点F,求证:PE+PF=BM;(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上,类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E,作PF∥AC交NB的延长线于点F,求证:AM•PF+OM•BN=AM•PE.2019年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)1.【解答】解:根据中心对称的性质,得点(﹣1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,﹣2).故选:B.2.【解答】解:∵四个选项中是无理数的只有和,而>4,3<<4∴选项中比3大比4小的无理数只有.故选:A.3.【解答】解:A、原式=+2,所以A选项错误;B、原式=2,所以B选项错误;C、原式=2,所以C选项错误;D、原式==,所以D选项正确.故选:D.4.【解答】解:∵数据的极差为16800,较大,∴平均数不能反映数据的集中趋势,∴普通员工最关注的数据是中位数及众数,故选:A.5.【解答】解:如图所示,该几何体的左视图是:.故选:C.6.【解答】解:根据题意可得:,可得:12<x<15,∴12<x<15故选:B.7.【解答】解:如图,根据题意得△AFH∽△ADE,∴=()2=()2=设S△AFH=9x,则S△ADE=16x,∴16x﹣9x=7,解得x=1,∴S△ADE=16,∴四边形DBCE的面积=42﹣16=26.故选:D.8.【解答】解:∵70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,∴个位数4个数一循环,∴(2019+1)÷4=505,∴1+7+9+3=20,∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是:0.故选:A.二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)9.【解答】解:在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|=3.故答案为:3.10.【解答】解:3x+1>2(x+4),3x+1>2x+8,x>7.故答案为:x>7.11.【解答】解:∵S甲2=2.83,S乙2=1.71,S丙2=3.52,而1.71<2.83<3.52,∴乙的成绩最稳定,∴派乙去参赛更好,故答案为乙.12.【解答】解:7纳米=0.000000007米=7×10﹣9米.故答案为:7×10﹣9.13.【解答】解:②﹣①得x=1③将③代入①得y=5∴故答案为:14.【解答】解:∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′,∴∠BAC=∠CAD'=45°,AD=AD'∴∠AD'D=67.5°,∠D'AB=90°∴∠ABD=22.5°故答案为:22.5°15.【解答】解:∵x2+x=1,∴3x4+3x3+3x+1=3x2(x2+x)+3x+1=3x2+3x+1=3(x2+x)+1=3+1=4;故答案为:4.16.【解答】解:①根据广义菱形的定义,正方形和菱形都有一组对边平行,一组邻边相等,①正确;②平行四边形有一组对边平行,没有一组邻边相等,②错误;③由给出条件无法得到一组对边平行,③错误;④设点P(m,m2),则Q(m,﹣1),∴MP==,PQ=+1,∵点P在第一象限,∴m>0,∴MP=+1,∴MP=PQ,又∵MN∥PQ,∴四边形PMNQ是广义菱形.④正确;故答案为①④;三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)17.【解答】解:原式=6×﹣2+7﹣8+1=.18.【解答】解:∵a=1,b=﹣3,c=﹣2;∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=9+8=17;∴x==,∴x1=,x2=.四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)19.【解答】解:(﹣)÷(﹣1)=[]÷[]====,当x=2时,原式==.20.【解答】解:(1)把点A(1,a)代入y=﹣x+3,得a=2,∴A(1,2)把A(1,2)代入反比例函数y=,∴k=1×2=2;∴反比例函数的表达式为y=;(2)∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C,∴C(3,0),设P(x,0),∴PC=|3﹣x|,∴S△APC=|3﹣x|×2=5,∴x=﹣2或x=8,∴P的坐标为(﹣2,0)或(8,0).五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)21.【解答】解:(1)设y甲=k1x,根据题意得5k1=100,解得k1=20,∴y甲=20x;设y乙=k2x+100,根据题意得:20k2+100=300,解得k2=10,∴y乙=10x+100;(2)①y甲<y乙,即20x<10x+100,解得x<10,当入园次数小于10次时,选择甲消费卡比较合算;②y甲=y乙,即20x=10x+100,解得x=10,当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;③y甲>y乙,即20x>10x+100,解得x>10,当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算.22.【解答】(1)证明:连接OD、CD,∵CE是⊙O的直径,∴∠EDC=90°,∵DE∥OA,∴OA⊥CD,∴OA垂直平分CD,∴OD=OC,∴OD=OE,∴∠OED=∠ODE,∵DE∥OA,∴∠ODE=∠AOD,∠DEO=∠AOC,∴∠AOD=∠AOC,∵AC是切线,∴∠ACB=90°,在△AOD和△AO
湖南省常德市2019年中考数学真题试题(含解析)
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