北京市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年北京市中考数学试卷一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为（） A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103【解析】本题考察科学记数法较大数，中要求，此题中，故选C2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（） B.C.D.【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C3．正十边形的外角和为（） A.180° B.360° C.720° D.1440°【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（） A.-3 B.-2 C.-1 D.1【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A表示数为a，点B表示数为2，点C表示数为a+1，由题意可知，a＜0，∵CO=BO，∴，解得（舍）或，故选A5．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，则∠AOB=20° C.MN∥CD D.MN=3CD【解析】连接ON，由作图可知△COM≌△DON.由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A正确.若OM=MN，则△OMN为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正确C.由题意，OC=OD，∴∠OCD=.设OC与OD与MN分别交于R，S，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS，∴∠ORS=，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C正确.D.由题意，易证MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故选D6．如果，那么代数式的值为（） A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】：∴原式=3，故选D7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3【解析】本题共有3种命题：命题①，如果，那么.∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.命题②，如果那么.∵∴∵，∴，∴.∴该命题为真命题.命题③，如果，那么.∵∴∵，∴，∴∴该命题为真命题.故，选D某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．学生类型人数时间学生类别性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间所有合理推断的序号是（） A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h，女生为25.5h，则平均数一定在24.5~25.5之间，故①正确②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，故②正确.③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数在10~20之间，故④错误故，选C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则的值为.【解析】本题考查分式值为0，则分子，且分母，故答案为110．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2.（结果保留一位小数）【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知”11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）【解析】本题考查对三视图的认识.①长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形；②圆柱的主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；③圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆.故答案为①②12．如图所示的网格是正方形网格，则＝°（点A，B，P是网格线交点）.【解析】本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算，∴，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∵∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为4513．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为.【解析】本题考查反比例函数的性质，A（a，b）在反比例上，则，A关于轴的对称点B的坐标为，又因为B在上，则，∴故答案为014．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．【解析】设图1中小直角三角形的两直角边分别为a，b（b＞a），则由图2，图3可列方程组解得，所以菱形的面积故答案为12.15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则.(填“”，“”或“”)【解析】本题考查方差的性质。两组数据的平均值分别为91和1，=∴，故答案为=16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在无数个平行四边形，无数个矩形，无数个正方形，故答案为①②③三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：.【解析】原式=18．解不等式组：【解析】解不等式①得：，∴解不等式②得：，∴∴不等式组的解集为19．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【解析】∵有实数根，∴△≥0，即，∴∵m为正整数，∴，故此时二次方程为即∴∴，此时方程的根为20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．【解析】证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD ∵BE=DF，∴，∴AE=AF ∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=∴tan∠ABD=，∴AO=121．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.762.463.665.966.468.569.169.369.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．【解析】（1）17（2）（3）2.7（4）①②22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解析】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴，∴AD=CD解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°在Rt△CDF和Rt△CMF中，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线∴BC为⊙O的直径，连接OD∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有首，i=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组第2组第3组第4组③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入补全上表；（2）若，，，则的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．【解析】（1）如下图第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组第2组第3组第4组（2）根据上表可列不等式组：，可得（3）确定第4天，，由第2天，第3天，第5天可得，∴，∴，可取最大整数值为9，∴24．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.13