2017年北京市中考数学试卷一、选择题(本题共30分,每小题3分)1.(3分)如图所示,点P到直线l的距离是( )A.线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD的长度2.(3分)若代数式xx-4有意义,则实数x的取值范围是( )A.x=0 B.x=4 C.x≠0 D.x≠43.(3分)如图是某个几何题的展开图,该几何体是( )A.三棱柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.圆柱4.(3分)实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )A.a>﹣4 B.bd>0 C.|a|>|b| D.b+c>05.(3分)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.6.(3分)若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是( )A.6 B.12 C.16 D.187.(3分)如果a2+2a﹣1=0,那么代数式(a﹣4a)•a2a-2的值是( )A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.38.(3分)下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》)根据统计图提供的信息,下列推理不合理的是( )A.与2015年相比,2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B.2011﹣2016年,我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C.2011﹣2016年,我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9.(3分)小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单位:s)的对应关系如图2所示.下列叙述正确的是( )A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D.小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇2次10.(3分)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.下面有三个推断:①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;②随着实验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟实验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是( )A.① B.② C.①② D.①③ 二、填空题(本题共18分,每题3分)11.(3分)写出一个比3大且比4小的无理数: .12.(3分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为 .13.(3分)如图,在△ABC中,M、N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= .14.(3分)如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,AD=CD.若∠CAB=40°,则∠CAD= .15.(3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一中由△OCD得到△AOB的过程: .16.(3分)图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知:Rt△ABC,∠C=90°,求作Rt△ABC的外接圆.作法:如图2.(1)分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;(2)作直线PQ,交AB于点O;(3)以O为圆心,OA为半径作⊙O.⊙O即为所求作的圆.请回答:该尺规作图的依据是 . 三、解答题(本题共72分,第17题-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(5分)计算:4cos30°+(1﹣2)0﹣12+|﹣2|.18.(5分)解不等式组:&2(x+1)>5x-7&x+103>2x.19.(5分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC.20.(5分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据该图完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC﹣( + ).易知,S△ADC=S△ABC, = , = .可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.21.(5分)关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.22.(5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.23.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx(x>0)的图象与直线y=x﹣2交于点A(3,m).(1)求k、m的值;(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x﹣2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=kx(x>0)的图象于点N.①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.24.(5分)如图,AB是⊙O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求⊙O的半径.25.(5分)某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)如下:甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成绩x人数部门40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙 (说明:成绩80分及以上为生产技能优秀,70﹣﹣79分为生产技能良好,60﹣﹣69分为生产技能合格,60分以下为生产技能不合格)分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论:a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ;b.可以推断出 部门员工的生产技能水平较高,理由为 .(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)26.(5分)如图,P是AB所对弦AB上一动点,过点P作PM⊥AB交AB于点M,连接MB,过点P作PN⊥MB于点N.已知AB=6cm,设A、P两点间的距离为xcm,P、N两点间的距离为ycm.(当点P与点A或点B重合时,y的值为0)小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:x/cm0123456y/cm02.02.32.1 0.90(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.(3)结合画出的函数图象,解决问题:当△PAN为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.27.(7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3),若x1<x2<x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.28.(7分)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.29.(8分)在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义:若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1)当⊙O的半径为2时,①在点P1(12,0),P2(12,32),P3(52,0)中,⊙O的关联点是 .②点P在直线y=﹣x上,若P为⊙O的关联点,求点P的横坐标的取值范围.(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围. 2017年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本题共30分,每小题3分)1.(3分)(2017•北京)如图所示,点P到直线l的距离是( )A.线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD的长度【考点】J5:点到直线的距离.菁优网版权所有【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度,可得答案.【解答】解:由题意,得点P到直线l的距离是线段PB的长度,故选:B.【点评】本题考查了点到直线的距离,利用点到直线的距离是解题关键. 2.(3分)(2017•北京)若代数式xx-4有意义,则实数x的取值范围是( )A.x=0 B.x=4 C.x≠0 D.x≠4【考点】62:分式有意义的条件.菁优网版权所有【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围;【解答】解:由意义可知:x﹣4≠0,∴x≠4,故选(D)【点评】本题考查分式有意义的条件,解题的关键是正确理解分式有意义的条件,本题属于基础题型. 3.(3分)(2017•北京)如图是某个几何题的展开图,该几何体是( )A.三棱柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.圆柱【考点】I6:几何体的展开图.菁优网版权所有【分析】侧面为三个长方形,底边为三角形,故原几何体为三棱柱.【解答】解:观察图形可知,这个几何体是三棱柱.故选:A.【点评】本题考查的是三棱柱的展开图,考法较新颖,需要对三棱柱有充分的理解. 4.(3分)(2017•北京)实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )A.a>﹣4 B.bd>0 C.|a|>|b| D.b+c>0【考点】29:实数与数轴.菁优网版权所有【分析】根据数轴上点的位置关系,可得a,b,c,d的大小,根据有理数的运算,绝对值的性质,可得答案.【解答】解:由数轴上点的位置,得a<﹣4<b<0<c<1<d.A、a<﹣4,故A不符合题意;B、bd<0,故B不符合题意;C、|a|>4=|d|,故C符合题意;D、b+c<0,故D不符合题意;故选:C.【点评】本题考查了实数与数轴,利用数轴上点的位置关系得处a,b,c,d的大小是解题关键. 5.(3分)(2017•北京)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形.菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【解答】解:A、是轴对称图形但不是中心对称图形,故本选项正确;B、是轴对称图形,也
2017年北京市中考数学试卷(解析版)
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