2024届新高三摸底联考数学课件

2023-10-28 · U6 上传 · 50页 · 4.2 M

2024届新高三摸底联考数学试题本试卷共4页,22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,,则()A. B. C. D.[解析]由,解得,由,解得,则.故选D.√2.已知,则的虚部为()A. B.5 C. D.[解析],设,则,解得.故选A.√3.已知为的重心,,则()A. B. C. D.[解析]取的中点,则,又因为,则.故选B.√4.的展开式中的常数项为()A.588 B.589 C.798 D.799[解析]展开式中常数项为.故选B.√5.如图,正方形,的边长均为2,动点在线段上移动,,分别为线段,中点,且平面,则当取最大值时,异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.[解析]因为平面,所以,当最小时,即为中点时,取最大值,此时,所以异面直线与所成的角为(或补角),,,取的中点,则,,所以是等腰三角形,.故选A.√6.中国古代钱币历史悠久,品种纷繁,多姿多彩,大多数是以铜合金形式铸造的,方孔钱是古代钱币最常见的一种,如图1.现有如图2所示某方孔钱中心方孔为正方形,,为正方形的顶点,为圆心,为圆A. B. C. D.上的点,且,,定义方孔钱金属面积比率,则该方孔钱金属面积比率约为(方孔钱厚度不计,)()√[解析]与交于点,,则,又因为,所以,,所以方孔钱金属面积比率.故选D.7.数列满足,且,则数列的前2024项的和()A. B. C. D.[解析]由题意知:,,,,易知数列是周期为4的数列,.故选C.√8.已知正数,,,满足,,,则下列不等式成立的是()A. B. C. D.[解析],,,考虑和,,的图象的交点,根据图象可知:.故选B.√二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,为两个不同的平面,,,为三条不同的直线,则下列结论中不一定成立的是()A.若,,则B.若,,则C.若,,且,,,则D.若,,且,,则√√√[解析]当,时,或或与相交,故A错误;B正确;若,,且,,,则与可能相交,可能平行,不一定垂直,故C错误;当时,若,,且,,此时不成立,故D错误.故选.10.在某市高二年级举行的一次体育统考中,共有10000名考生参加考试.为了解考生的成绩情况,随机抽取了名考生的成绩,其成绩均在区间,按照,,分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中,成绩落在区间的人数为32,则()A.B.考生成绩的中位数为71C.考生成绩的第70百分位数为75D.估计该市考生成绩的平均分为(每组数据以区间的中点值为代表)√√[解析]对于A,由频率分布直方图可得,则,故A错误;对于B,考生成绩的中位数为,故B正确;对于C,考生成绩的第70百分位数为,故C错误;对于D,该市考生成绩的平均分为,故D正确.故选.11.已知为坐标原点,为抛物线的焦点,过点的直线交于,两点,直线,分别交于,,则()A.的准线方程为 B.C.的最小值为4 D.的最小值为√√√[解析]对于A,由题意,所以的准线方程为,故A正确;对于B,设,,设直线,与抛物线联立可得,,,,所以,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,设直线,与抛物线联立可得,,,同理,,,由,,当且仅当时等号成立,故D正确.故选.12.已知函数,则()A.当时,单调递减 B.当时,C.若有且仅有一个零点,则 D.若,则√√√[解析]当时,,,设,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,取得最大值,因为,所以,单调递减,故A正确;当时,,设,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,当时,取得最小值,,所以.设,,因为,所以,单调递增,所以,所以,故B正确;,若,则.设,即,设,则,因为,所以,,单调递减,若有且仅有一个零点,则,此时,故C错误;若,则,即,因为单调递减,所以,故D正确.故选.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知直线,请写出一个满足以下条件的圆的方程________________________________________________________________________________________________________________________.①圆与轴相切;②圆与直线相切;③圆的半径为2.(写出其中的一个即可)[解析]当圆心为时,圆与直线相切,即,解得或.当圆心为时,圆与直线相切,即,解得或.所以圆的方程为或或或.故答案为或或或(写出其中的一个即可).14.已知函数,设方程最小的两个正根为,,若,则_____.[解析]令,当时,,所以,,解得,,又,所以,解得.故答案为.15.椭圆与正方形是常见的几何图形,具有对称美感,受到设计师的青睐.现有一工艺品,其图案如图所示:基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点).在平面直角坐标系中,将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度,即得“斜椭圆”,则“斜椭圆”的离心率为___.[解析]“斜椭圆”的中心为坐标原点,所以长半轴的长度为曲线上的点到原点距离最大值,短半轴的长度为曲线上的点到原点距离最小值,由基本不等式,即,所以,解得,当时,成立,时,成立.所以椭圆的长半轴长为,短半轴长为,所以椭圆的离心率为.故答案为.16.正方体的棱长为1,为线段的中点,平面,平面,若点为平面与侧面相交的线段上的一动点,为线段上一动点,则的最小值为__.[解析]如图所示,取的中点,的中点,的中点,的中点,连接,,,,,,则,所以,所以,同理可得,又,因为,所以,,,四点共面.又因为,,所以平面,所以.因为,,,所以平面,所以,,所以平面,所以平面即为,为与平面的交线,在上取一点,过作于,过作于,设,,则,,,当且仅当时等号成立,所以的最小值为.故答案为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)为增强学生体质,促进学生身心全面发展,某调研小组调查某中学男女生清晨跑操(晨跑)的情况,现随机对80名学生进行调研,得到的统计数据如下表所示:参加晨跑不参加晨跑合计男生32840女生103040合计423880附:,其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)分别求男生和女生中参加晨跑的概率;解:由题意可得,男生中参加晨跑的概率为,女生中参加晨跑的概率为.(4分)(2)依据小概率值的独立性检验,能否认为学生是否参加晨跑与性别有关.[答案]零假设为学生是否参加晨跑与性别无关.,(8分)依据小概率值的独立性检验,推断不成立,故可认为学生是否参加晨跑与性别有关.(10分)18.(本小题满分12分)已知数列满足,且.(1)证明:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;证明:因为,所以.(2分)当时,,所以,,故是首项为1,公比为的等比数列,所以,故的通项公式为.(5分)(2)求数列的前项和.[答案]由(1)知,.(12分)19.(本小题满分12分)如图,,分别是圆柱上、下底面圆的圆心,该圆柱的轴截面是边长为2的正方形,,分别是其上、下底面圆周上的动点,已知,位于轴截面的异侧,且.(1)当,,,四点共面时,求;解:连接,因为平面平面,且平面平面,平面平面,所以,(2分)又,所以,所以.(4分)(2)当时,求二面角的正弦值.[答案]如图,作的中点,分别以,,为,,轴,建立空间直角坐标系,易知,,,所以,,,(6分)设平面的法向量为,则,取,则,,所以,(8分)设平面的法向量为,则,取,则,,所以,(10分)设二面角为,则,(11分)所以,所以二面角的正弦值为.(12分)20.(本小题满分12分)“特种兵式旅游”,是年轻游客中兴起的一种新的旅游方式,即用尽可能少的时间、费用,游览尽可能多的景点.某景点示意图如下:为景点入口,、、为景点出口,且、、均在圆上,阴影部分为草地,其中,分别为,街道上的标志性建筑,且,为“特种兵”通道,已知,,.(1)若,求;解:设的内角,,的对边分别为,,,,,(1分),,,,整理得,,(4分)由余弦定理可得,,即.(6分)(2)记为“特种兵通道”的总长,求的最大值.[答案],,,,,四点共圆,四边形和三角形的外接圆重合,且外接圆直径为,(7分),解得,(9分)设,则,,整理得,当且仅当等号成立,(11分)“特种兵通道”的总长的最大值为.(12分)21.(本小题满分12分)已知函数,函数.(1)求的单调区间;解:由题意,,(2分)令,可得,,0,当和时,,所以单调递增,当和时,,所以单调递减.所以的单调递增区间为,,单调递减区间为,.(4分)(2)若,,使得成立,求的取值范围.[答案]依题意可知,的最大值小于或等于的最大值,因为在单调递减,在单调递增,,,所以的最大值为.(5分),当时,,所以单调递减,当时,,所以单调递增.(6分)(ⅰ)若,即,则在单调递增,的最大值为,所以,可得;(8分)(ⅱ)若,即,则在单调递减,的最大值为,因为,所以不成立,故无解;(10分)(ⅲ)若,即,则在单调递减,在单调递增,的最大值为或,所以只需,且,解得.综上所述,的取值范围是.(12分)22.(本小题满分12分)已知,分别为双曲线的左、右顶点,点是直线上的动点,延长,分别与交于点,.(1)若点的纵坐标为,求的坐标;解:由题意可知,此时直线,联立,所以.(3分)(2)若在直线上且满足,求的轨迹方程.[答案]设,,,若直线平行于轴,不符合题意;当直线与轴不平行时,设直线,代入曲线中,得,因为直线与有两交点,所以,且,即,所以,,(4分)则,由,,三点共线得,即,同理,由,,三点共线得,(6分)消去,得,(7分)即,得,得,即对任意,,都有成立,故或,(9分)若,,又可得:,,所以,即,矛盾,故,所以.(11分)所以直线恒过点,则点的轨迹是以为直径的圆,其方程为.(12分)

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