指数型函数取对数问题（学生版）

指数型函数取对数问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如afx的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.二、解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.lnx+11(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数fx=.ax(1)讨论fx的单调性；x2x122(2)若ex1=ex2(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x1+x2>2.·1·(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，形如fagb=hcfa>0,gb>0,fc>0或fagb>hc的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a>0，b∈R，函数fx=axlnx和gx=blnx+1的图像共有三个不同的交点，且fx有极大值1．(1)求a的值以及b的取值范围；2x3x12b-2(2)若曲线y=fx与y=gx的交点的横坐标分别记为x1，x2，x3，且x10,b>0转化为比较lna,lnb的大小n+1n比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较n,n+1∗lnnn∈N,n>2的大小，可通过取对数转化为比较n+1lnn,nlnn+1的大小，再转化为比较,nlnn+1lnx的大小，然后可以构造函数fx=，利用fx的单调性比较大小.n+1x13一天，小锤同学为了比较ln1.1与的大小，他首先画出了y=lnx的函数图像，然后取了离1.1很近10的数字1，计算出了y=lnx在x=1处的切线方程，利用函数y=lnx与切线的图像关系进行比较.1(1)请利用小锤的思路比較ln1.1与大小10ae(2)现提供以下两种类型的曲线y=+b,y=kx+t，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较π,x2e3的大小.·3·三、典例展示xa1(2021全国甲卷高考试题)已知a>0且a≠1，函数f(x)=(x>0)．ax(1)当a=2时，求fx的单调区间；(2)若曲线y=fx与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．f(x)2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f(x)=ax2+(a+1)xlnx-1，g(x)=．x(1)讨论gx的单调性；22xx1+x2e(2)若方程f(x)=xe+xlnx-1有两个不相等的实根x1,x2，求实数a的取值范围，并证明e>．x1x2·4·3已知函数，fx=lnx-x+m，m∈R．(1)求fx的极值；1m(2)若fx有两个零点a，b，且a0，总有x1x2≤λ1x1+λ2x2成立；nλ1λ2λn(2)设xi>0，λi>0i=1,2,⋅⋅⋅,n，且λi=1，求证：x1x2⋅⋅⋅xn≤λ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λnxn.i=1·5·5已知函数f(x)=ex,g(x)=x+alnx,a∈R(1)讨论g(x)的单调性；a(2)若fx+2x≥gx+x，对任意x∈(1,+∞)恒成立，求a的最大值；6已知函数f(x)=xlnx．(1)讨论f(x)的单调性；ba211(2)设a，b为两个不相等的正数，且a=b，证明：<+<1．eab·6·四、跟踪检测1已知函数f(x)=xlnx+a,(a∈R)．(1)求函数fx的单调区间；1(2)当0e．2形如y=f(x)g(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取yfx对数得lny=lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，两边对x求导数，得=g(x)lnf(x)+g(x)，于是y=f(x)g(x)yfxfxxlnx2g(x)lnf(x)+g(x).已知f(x)=2e，g(x)=x+1.fx(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若h(x)=f(x)，求h(x)的单调区间；(3)求证：∀x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立.·7·23已知函数f(x)=exlnx(x>0)．(1)求f(x)的极值点．k(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x20+b；       bm-11②求证：2e<+aa·8·5已知a∈R，f(x)=x⋅e-ax，(其中e为自然对数的底数).(1)求函数y=f(x)的单调区间；22(2)若a>0，函数y=f(x)-a有两个零点x，x2，求证：x1+x2>2e.-x16已知函数fx=axea≠0存在极大值.e(1)求实数a的值；(2)若函数Fx=fx-m有两个零点x1，x2x1≠x2，求实数m的取值范围，并证明：x1+x2>2.·9·7已知函数f(x)=x(e2x-a),g(x)=bx+lnx.(1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线，求a的值；(2)若g(x)有两不同的零点，求b的取值范围；(3)若b=1，且f(x)-g(x)≥1恒成立，求a的取值范围.8已知函数f(x)=axlnx，a∈R．(1)当a=1时，①求f(x)的极值；mm②若对任意的x≥e都有f(x)≥ex，m>0，求m的最大值；x22(2)若函数g(x)=f(x)+x有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e．·10·f(x)9已知函数f(x)=xlnx-ax2-x，g(x)=，a∈R．x(1)讨论g(x)的单调性；43(2)设f(x)有两个极值点x1，x2x1e．(e=2.71828⋯为自然对数的底数)xalnx10已知函数fx=e--a(e为自然对数的底数)有两个零点．x(1)若a=1，求fx在x=1处的切线方程；2-x1-x2(2)若fx的两个零点分别为x1,x2，证明：e-x1x2<0．·11·11已知函数hx=x-alnxa∈R.(1)若hx有两个零点，a的取值范围；2xx1+x2e(2)若方程xe-alnx+x=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e>.x1x2x-2t12已知函数fx=e-lnx+2(1)若x=1是fx的极值点，求t的值，并讨论fx的单调性；(2)当t≤1时，证明：fx>2.·12·