重庆八中离心率求法专题研究学生版

2023-11-14 · U1 上传 · 19页 · 132.1 K

重庆八中离心率求法专题研究【知识梳理】c1.离心率公式:e=(其中c为圆锥曲线的半焦距)a(1)椭圆:e∈(0,1)(2)双曲线:e∈(1,+∞)(3)离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质,一方面刻画了椭圆,双曲线的形状,另一方面也体现了参数a,c之间的联系。2.求离心率的方法:求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可),方法通常有两个方向:(1)利用几何性质:如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形),那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系,进而两条焦半径与a有关,另一条边为焦距,从而可求解。(2)利用坐标运算:如果题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示,再利用条件列出等式求解。3.离心率的范围问题:在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑:(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”;则可考虑该点坐标用a,b,c表示,且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口。(2)若题目中有一个核心变量,则可以考虑离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可(构造函数)。(3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式,进而解出离心率。注:在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求:椭圆:e∈(0,1),双曲线:e∈(1,+∞)4.求椭圆或双曲线的离心率的值或取值范围,一般要尽快的列出与a,b,c有关的方程或不等式,然后消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,就能进一步解决问题.(求双曲线的渐近线的斜率的值或取值范围可借鉴此方式)①求值的问题主要是利用题中的等量关系,列出与a,b,c有关的方程.②求范围的问题相对复杂一些,主要是找出与a,b,c有关的不等关系,列出不等式或建立函数关系.【适当注意椭圆的焦半径|PF|∈[a-c,a+c],双曲线的焦半径|PF|≥c-a或|PF|≥c+a以及双曲线的浙近线的斜率能否起作用;还有点在曲线上,坐标有限制:方程组或方程有解(判别式法;三角形中的边角不等关系.】5.解析几何的题中有时给出一些较复杂的向量关系式,首先应该考虑直接运用向量的相关知识(几何意义)化简,直接坐标化化简一般较繁琐!【方法归类】一.由特征量建立a,b,c的关系(特殊三角形、等量关系转换a,b,c的齐次式等)22xy2221.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x+y=a的两条切线,切点分别为A,B.若a2b2∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为()35A.B.2C.D.322x2y22.设F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F,F,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双12a2b212曲线的离心率为()35A.B.2C.D.382x2y23.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F,A是椭圆与x轴正半轴的a2b21交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是()2123A.B.C.D.4222x2y24.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆Ea2b24于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是5()3333A.0B.0C.1D.1242422xy2225.设F是椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x+y=b相a2b22π切,当直线PF的倾斜角为时,此椭圆的离心率是3()272523A.B.C.D.75226.设椭圆C的两个焦点是F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于P,Q.若PF2=F1F2,且3PF1=4QF1,则椭圆的离心率为.二.回代点的坐标(点在圆锥曲线上)建立a,b,c的关系7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则椭圆C的离心率为x2y28.已知过椭圆+=1(a>0,b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P,交椭圆于点Q,若a2b2ΔAOP是等腰三角形,且PQ=2QA,则椭圆的离心率为.x2y29.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),M,N两点在双曲线C上,且a2b212MN∥F1F2,F1F2=4|MN|,线段F1N交双曲线C于点Q,且F1Q=QN,则双曲线C的离心率为.三.由线段长(范围)、点的坐标范围建立a,b,c的关系(三角形中边角关系、焦点三角形、焦半径范围、椭圆或双曲线中的点的横纵坐标范围等)x2y23a10.设F、F是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,ΔFPF是底角为30°12a2b2212的等偠三角形,则E的离心率为()1234A.B.C.D.2345x2y2a211.(线段长不等式)设F,F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在P,12a2b2c使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是()2323A.0,B.0,C.,1D.,12323x2y212.(焦半径范围)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),若椭圆上存在一点P,a2b212ac使=,则离心率的取值范围为.sin∠PF1F2sin∠PF2F1x2y213.(焦半径范围)双曲线-=1(a>b>0)的两个焦点为F,F,若P为其上一点,且PF=2PF,则a2b21212双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)x2y214.(焦半径范围)点P是双曲线-=1(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段a2b2cFP的中点,且M到坐标原点的距离为,则双曲线的离心率e的取值范围是()8445A.(1,8]B.1,C.,D.(2,3]333xy15.(横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0),点M,N分别是椭圆C半长轴OA,OA的中点,若椭a2b212圆C上存在点P满足4PM⋅PN=a2,则此椭圆离心率的取值范围是.xy16.(点横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A(a,0),其上存在一点P,使得∠APO=a2b290°,求椭圆的离心率的取值范围.四.由几何关系转换建立a,b,c的关系x2y217.已知F、F是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段FF为边作正三角形MFF,若边MF12a2b212121的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()3+1A.4+23B.3-1C.D.3+12222xy22a18.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆:x+y=的切线,切点为E,延a2b241长FE交双曲线右支于点P,若OE=(OF+OP),则双曲线的离心率为.2π19.已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且∠FPF=,记椭圆离心率e,双曲12123111线的离心率e2,+=.e1e2maxx2y220.椭圆C:+=1(a>b>0),P为C的上的任意一点,ΔPFF的重心G,内心为I,且IG∥FF,则椭a2b212112圆的离心率为.x2y2a221.在平面直角坐标系中,椭圆+=1(a>b>0),以O为圆心,a为半径的圆,过点,0作圆的两a2b2c条切线相互垂直,则离心率e=.x2y222.椭圆+=1(a为定值,且a>5)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.若ΔFAB的周a25长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.x2y223.椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F(-c,0),F(c,0),椭圆上存在点M使FM⋅FM=0,则该椭圆a2b21212离心率e的取值范围为.1y224.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F,F,若该椭圆上存在一点P,使得∠FPF=60°,则椭a2b21212圆离心率的取值范围是.25.如图,以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD.若双曲线C以A,B为隺点且过C,D两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为()A.2B.3C.1+2D.1+3π26.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈0,,以A,B为焦点且过点D2的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则()A.随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值;B.随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值;C.随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大;D.随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小22xy22作业1.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)+y=4所截得的弦长为2,则C的a2b2离心率为()23A.2B.3C.2D.3x2y2a2作业2.椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F,F,两条直线x=±与x轴的交点分别为M,N,若|MN|a2b212c≤2F1F2,则该椭圆离心率的取值范围是()1212A.0,B.0,C.,1D.,12222y2作业3.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,如l与双曲线M的两条渐近线分别相交于b2B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是10x2y2b作业4.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交a2b226于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭囶的离心率䢎.2x2y2作业5.已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于xa2b2轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+∞)个B.(1,2)C.(1,1+2)D.(2,1+2)x2y2作业6.如图,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,FF=2,P是双曲线右支上的a2b212122一点,PF⊥PF,PF与y轴交于点A,△APF的内切圆半径为,则双曲线的离心率是()122125A.B.2C.3D.222x2y2作业7.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点为F,F,过F作x轴的垂线与C相交于A,B两点,a2b2122F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于x2y2作业8.F,F分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F的直线l与双曲线的左、右两支分别交A,B两点,12a2b21若ΔABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为x2y2作业9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)长轴的两个端点是A,B,若C上存在一点P,使∠APB=120°,a2b2求椭圆C的离心率的取值范围x2y2作业10.M,N,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、上顶点、左焦点,若∠MFN=∠NMF+a2b290°,则椭圆C的离心率等于

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