“三招九型”，轻松破解函数零点问题(学生版)

“三招九型”，轻松破解函数零点问题目录一、重难点题型方法1<第一招：数形结合>题型一：求函数零点及零点所在区间题型二：求函数零点或方程根的个数题型三：根据零点个数求参数范围(不分参型)题型四：比较零点的大小关系题型五：求函数零点的和<第二招：分离参数>题型六：根据零点个数求参数范围(分参型)题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围<第三招：转化化归>题型八：嵌套函数的零点个数题型九：根据嵌套函数零点个数求参数二、针对性巩固练习重难点题型方法<第一招：数形结合>题型一：求函数零点及零点所在区间【典例分析】典例1-1．(2022·河北·邢台一中高一阶段练习)已知fx在定义域上为单调函数，对∀x∈0,+∞，恒有ffx-log2x=1，则函数fx的零点是(    )11A.2B.1C.D.-221典例1-2．(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)已知函数fx=-logx，在下列x2区间中，包含fx零点的区间是(    )A.0,1B.2,3C.3,+∞D.1,2典例1-3．(2022·贵州遵义·高一期中)若函数f(x)=x2+x+m的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围为(    )A.[-6,-2]B.(-6,-2)C.(-∞,-6]∪[-2,+∞)D.(-∞,-6)∪(-2,+∞)【方法技巧总结】1.零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)⋅f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的根。2.注意：①不满足f(a)⋅f(b)<0的函数也可能有零点.②若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线，则f(a)⋅f(b)<0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件.【变式训练】x2+2x,x≤01.(2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习(文))已知函数fx=，则函数gx=lgx,x>0f1-x-1的零点个数为(    ).A.1B.2C.3D.42.(2022·北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习)函数fx=x3+5x-7的零点所在的区间可以是(    )A.0,1B.1,2C.2,3D.3,413.(2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习)函数fx=2alogx+a⋅4x+3在区间,1上22有零点，则实数a的取值范围是(    )13313A.a<-B.a<-C.-0，都有f(x)=x1f，且当x∈[1,2)时，f(x)=sinπx，则函数g(x)=f(x)-log|x|+1的零点的个数为(    )232A.8B.10C.12D.14题型三：根据零点个数求参数范围(不分参型)【典例分析】x-1典例3-1．(2022·广东·海珠外国语实验中学高一阶段练习)已知函数fx=logax-4(a>0且a≠111)在0,上无零点，在,1上有零点，则实数a的取值范围为(    )221111A.0,B.,1∪1,+∞C.0,D.,14444典例3-2．(2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习)设函数fx=lnx,x>0x有4个不同零点，则正实数ω的范围为(    )sinωx+π,-π≤x≤04913913913913A.,B.,C.,D.,44444444【方法技巧总结】1.技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。核心思想还是数形结合，需结合带参讨论。【变式训练】1.(2021·河南·安阳一中高一期末)已知定义在R上的奇函数，满足f2-x+fx=0，当x∈0,1时，fx=-log2x，若函数Fx=fx-sinπx，在区间-1,m上有10个零点，则m的取值范围是( )A.3.5,4B.3.5,4C.5,5.5D.5,5.5(x-2)ln(x+1),-10，函数f(x)=恰有3个零点，cos3x+π,mc>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>ca4.典例4-2．(2022·福建泉州·高一阶段练习)设正实数a,b,c分别满足a⋅2=b⋅log3b=c⋅log2c=1，则a,b,c的大小关系为(    )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b【方法技巧总结】1.技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。【变式训练】3x1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=x+x，gx=x+3，hx=x+log3x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小顺序为(    )A.x2>x3>x1B.x3>x2>x1C.x1>x2>x3D.x3>x1>x2-a-b-c2.(2023·全国·高三专题练习)若实数a,b,c满足2=lna+1,2=log3b,2=lnc，则(    )A.c题型六：根据零点个数求参数范围(分参型)【典例分析】典例6-1．(2021·天津·高一期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈[-1,1)时，log0.5(1-x),-1≤x≤0f(x)=，若在区间[0,5]上函数g(x)=f(x)-mx恰有4个不同的零点，则实数-|x|,01典例6-2．(2022·黑龙江·宾县第二中学高一期中)已知函数f(x)=x，若函数g(x)=f3x-1,x≤1(x)-k有3个零点，则实数k的取值范围为(    )A.(0，+∞)B.(0，1)C.[1，+∞)D.[1，2)【方法技巧总结】1.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【变式训练】(x-1)3,x<21.(2022·北京·高三阶段练习(文))已知函数f(x)=，若函数gx=fx-a存在两个零e2-x,x≥2点，则实数a的取值范围是(    )A.-∞,0B.-∞,1C.(0,1)D.1,+∞2ln(x+1),x≥02.(2021·陕西·安康市教学研究室一模(理))已知函数f(x)=，若函数g(x)=f(x)-k|x|e-x-1,x<0(k∈R)恰有3个零点，则k的取值范围是(    )A.(1,2)B.[1,2]C.(0,2)D.(-1,1)3.(2022·四川省德阳中学校高二开学考试)定义在R上的偶函数fx满足对任意的x∈R，都有f1+x=f3-x，当x∈0,2时，fx=4-x2，若函数y=fx-kx在x∈(0,+∞)上恰有3个零点，则实数k的取值范围为(    )15314335153514A.，B.，C.，D.，15314335153514题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围【典例分析】-3x2+6x,x≤2典例7-1．(2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中)设函数fx=，若关于x的log2x-2,x21方程fx=t有四个实根x,x,x,xx