“三招九型”，轻松破解函数零点问题(解析版)

“三招九型”，轻松破解函数零点问题目录一、重难点题型方法1<第一招：数形结合>题型一：求函数零点及零点所在区间题型二：求函数零点或方程根的个数题型三：根据零点个数求参数范围(不分参型)题型四：比较零点的大小关系题型五：求函数零点的和<第二招：分离参数>题型六：根据零点个数求参数范围(分参型)题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围<第三招：转化化归>题型八：嵌套函数的零点个数题型九：根据嵌套函数零点个数求参数二、针对性巩固练习重难点题型方法<第一招：数形结合>题型一：求函数零点及零点所在区间【典例分析】典例1-1．(2022·河北·邢台一中高一阶段练习)已知fx在定义域上为单调函数，对∀x∈0,+∞，恒有ffx-log2x=1，则函数fx的零点是(    )11A.2B.1C.D.-22【答案】C【分析】先根据fx单调，结合已知条件求出fx的解析式，然后再进一步研究函数fx的零点．【详解】解：因为fx是定义域为0,+∞的单调函数，且对任意的x∈0,+∞，都有ffx-log2x=1，故可设存在唯一的实数a∈0,+∞，使得fa=1，则设fx-log2x=a，所以fx=log2x+a，所以fa=log2a+a=1，则log2a=1-a，由于函数y=log2x在0,+∞上单调递增，函数y=1-x在0,+∞上单调递减，又log21=0=1-1，所以a=1，故fx=log2x+1，再令fx=log2x+1=0，x∈0,+∞，11解得：x=，故函数fx的零点是.22故选：C．1典例1-2．(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)已知函数fx=-logx，在下列x2区间中，包含fx零点的区间是(    )A.0,1B.2,3C.3,+∞D.1,2【答案】D【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.1【详解】因为y=在0,+∞上为减函数，y=logx在0,+∞上为增函数，x2故fx在0,+∞上为减函数，11而f1=1-log1=1>0，f2=-log2=-<0，2222故fx的零点在区间1,2中，故选：D.典例1-3．(2022·贵州遵义·高一期中)若函数f(x)=x2+x+m的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围为(    )A.[-6,-2]B.(-6,-2)C.(-∞,-6]∪[-2,+∞)D.(-∞,-6)∪(-2,+∞)【答案】B【分析】因为fx在(1,2)上单调递增，由零点的存在性定理知要使f(x)在(1,2)上存在零点，需要满足f(1)<0，求得m的取值范围.f(2)>0【详解】因为fx在(1,2)上单调递增，且fx的图象是连续不断的，f(1)=1+1+m<0所以，解得-60故选：B.【方法技巧总结】1.零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)⋅f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的根。2.注意：①不满足f(a)⋅f(b)<0的函数也可能有零点.②若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线，则f(a)⋅f(b)<0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件.【变式训练】x2+2x,x≤01.(2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习(文))已知函数fx=，则函数gx=lgx,x>0f1-x-1的零点个数为(    ).A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】通过解法方程gx=0来求得gx的零点个数.【详解】由gx=0可得f1-x=1.当x≤0时，x2+2x=1⇒x=-1-2，或x=-1+2(舍去)，1当x>0时，lgx=1⇒x=10或x=.10故1-x=-1-2⇒x=2+2是gx的零点，1-x=10⇒x=-9是gx的零点，191-x=⇒x=是gx的零点.1010综上所述，gx共有3个零点.故选：C2.(2022·北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习)函数fx=x3+5x-7的零点所在的区间可以是(    )A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】B【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】f0=-7<0，f1=1+5-7=-1<0，f2=8+10-7=11>0，f3=27+15-7=35>0，f4=64+20-7=77>0，由f1f2<0，则函数fx的零点存在的区间可以是1,2，故选：B.13.(2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习)函数fx=2alogx+a⋅4x+3在区间,1上22有零点，则实数a的取值范围是(    )13313A.a<-B.a<-C.-0时，由于函数y=2alogx、y=a⋅4x+3在,1上均为增函数，221此时函数fx在,1上为增函数.21当a<0时，由于函数y=2alogx、y=a⋅4x+3在,1上均为减函数，221此时函数fx在,1上为减函数.211因为函数fx在区间,1上有零点，则f⋅f1<0，223即34a+3<0，解得a<-.4故选：D.题型二：求函数零点或方程根的个数【典例分析】典例2-1．(2022·广东·惠州一中高一期中)函数fx=exlnx-2的零点个数为(    )A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】将问题转化为gx与hx的图像的交点的个数，作出图像即可得解.【详解】因为fx=exlnx-2，令fx=0，则exlnx-2=0，即lnx=1x2，e令gx=lnx，则gx的图像是y=lnx的图像保留x轴上方的图像，同时将x轴下方的图像沿着x轴向上翻折得到的图像，如图所示，1x1x令hx=2，则hx的图像是y=的图像的纵坐标扩大2倍，横坐ee标保持不变得到的图像，如图所示，所以gx与hx的图像有两个交点，即fx=exlnx-2有两个零点.故选：C.典例2-2．(2021·陕西省神木中学高三阶段练习(文))已知函数fx是定义在R上的偶函数，且fx+2=fx，当0≤x≤1时，fx=x，设函数gx=fx-log7x，则函数gx的零点个数为(    )A.6B.8C.12D.14【答案】C【分析】由已知可得函数f(x)的周期，作出两函数y=f(x)与y=log7x在(0,+∞)上的部分图象，数形结合可得两函数在(0,+∞)上的交点公式，再根据对称性得答案．【详解】解：函数fx是定义在R上的偶函数，所以f-x=fx，且fx+2=fx所以f-x=fx+2，则函数y=f(x)的图象关于x=1对称，函数gx=fx-log7x的零点即为fx=log7x的根，又函数fx满足fx+2=fx，则fx的周期为2，函数y=f(x)与y=log7x的图象都关于y轴对称，作出两函数在(0,+∞)上的部分图象如图：由图可知，两函数在(0,+∞)上有6个交点，根据对称性可得，g(x)的零点的个数为12．故选：C．典例2-3．(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习)若函数fx的定义域为R,fx-1为偶函数，当1x≥-1时，fx=3-x-1，则函数gx=fx-的零点个数为(    )2A.0B.1C.2D.4【答案】D【分析】根据函数的性质作出函数图象，利用数形结合的思想求解零点的个数.【详解】令3-x-1≥0解得x≤0，令3-x-1<0解得x>0，x1-1-1≤x≤03,x≥-1fx=3-x-1=所以当时，x，-1+1x>03,fx-1为偶函数，所以fx-1的图象关于y轴对称，所以fx的图象关于直线x=-1轴对称，故作出fx的图象如下，11令gx=fx-=0，即fx=，221由图象可知，fx的图象与y=的图象共有四个交点，21所以函数gx=fx-的零点个数为4个.2故选:D.【方法技巧总结】1.核心：函数的零点⇔方程的根⇔函数图象与x轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2.流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴在给定区间上交点的个数就是函数f(x)的零点个数；②将函数f(x)拆成两个图象易得的函数h(x)和g(x)的差，即f(x)=0等价于h(x)=g(x)，则所求的零点个数即为函数y=h(x)和y=g(x)的图象在给定区间上的交点个数.3.注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内零点的个数.【变式训练】ex,x≥01.(2023·陕西西安·高三期末(理))已知函数fx=，若函数gx=f-x-fx，则函数-3x,x<0gx的零点个数为(    )A.1B.3C.4D.5【答案】D3x-ex,x>0【分析】本题首先通过函数奇偶性求出gx=0,x=0，再利用导数研究其在0,+∞上的零点个xe+3x,x<0数即可.【详解】当x>0时，-x<0，f-x=3x当x<0时，-x>0，f-x=e-x3x-ex,x>0∴gx=f-x-fx=0,x=0，-xe+3x,x<0g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x)，且定义域为R，关于原点对称，故gx为奇函数，所以我们求出x>0时零点个数即可，g(x)=3x-ex,x>0，g(x)=3-ex>0，令g(x)=3-ex>0，解得00，而g2=6-e2<0，故gx在(ln3,2)有1零点，111g=1-e3<0，故gx在,ln3上有1零点，图像大致如图所示：33故gx在0,+∞上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在-∞,0上也有2个零点，且g0=0，故gx共5个零点，故选：D.2.(2022·安徽·高三阶段练习)已知定义域为R的偶函数fx的图象是连续不断的曲线，且fx+2+fx=f1,fx在0,2上单调递增，则fx在区间-100,100上的零点个数为(    )A.100B.102C.200D.202【答案】A【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.【详解】令x=-1，得f1+f-1=f1，即f-1=0，因为fx为偶函数，所以f1=0,fx+2+fx=f1=0，fx+2=-fx，fx+4=-fx+2=fx，所以fx是以4为周期的函数，因为fx在0,2上单调递增，则fx在-2,0上递减，所以fx在一个周期内有两个零点，故fx在区间-100,100上的零点个数为50×2=100.故选：A3.(2022·山东青岛·高三期中)已知偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，对任意x>0，都有f(x)=x1f，且当x∈[1,2)时，f(x)=sinπx，则函数g(x)=f(x)-log|x|+1的零点的个数为(    )232A.8B.10C.12D.14【答案】C1【分析】将问题化为f(x)与y=log|x|-1图象的交点个数，结合偶函数对称性只需研究