“三招九型”,轻松破解函数零点问题(解析版)

2023-11-08 · U1 上传 · 30页 · 2.6 M

“三招九型”,轻松破解函数零点问题目录一、重难点题型方法1<第一招:数形结合>题型一:求函数零点及零点所在区间题型二:求函数零点或方程根的个数题型三:根据零点个数求参数范围(不分参型)题型四:比较零点的大小关系题型五:求函数零点的和<第二招:分离参数>题型六:根据零点个数求参数范围(分参型)题型七:根据函数零点分布求零点代数式的取值范围<第三招:转化化归>题型八:嵌套函数的零点个数题型九:根据嵌套函数零点个数求参数二、针对性巩固练习重难点题型方法<第一招:数形结合>题型一:求函数零点及零点所在区间【典例分析】典例1-1.(2022·河北·邢台一中高一阶段练习)已知fx在定义域上为单调函数,对∀x∈0,+∞,恒有ffx-log2x=1,则函数fx的零点是(    )11A.2B.1C.D.-22【答案】C【分析】先根据fx单调,结合已知条件求出fx的解析式,然后再进一步研究函数fx的零点.【详解】解:因为fx是定义域为0,+∞的单调函数,且对任意的x∈0,+∞,都有ffx-log2x=1,故可设存在唯一的实数a∈0,+∞,使得fa=1,则设fx-log2x=a,所以fx=log2x+a,所以fa=log2a+a=1,则log2a=1-a,由于函数y=log2x在0,+∞上单调递增,函数y=1-x在0,+∞上单调递减,又log21=0=1-1,所以a=1,故fx=log2x+1,再令fx=log2x+1=0,x∈0,+∞,11解得:x=,故函数fx的零点是.22故选:C.1典例1-2.(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)已知函数fx=-logx,在下列x2区间中,包含fx零点的区间是(    )A.0,1B.2,3C.3,+∞D.1,2【答案】D【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.1【详解】因为y=在0,+∞上为减函数,y=logx在0,+∞上为增函数,x2故fx在0,+∞上为减函数,11而f1=1-log1=1>0,f2=-log2=-<0,2222故fx的零点在区间1,2中,故选:D.典例1-3.(2022·贵州遵义·高一期中)若函数f(x)=x2+x+m的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围为(    )A.[-6,-2]B.(-6,-2)C.(-∞,-6]∪[-2,+∞)D.(-∞,-6)∪(-2,+∞)【答案】B【分析】因为fx在(1,2)上单调递增,由零点的存在性定理知要使f(x)在(1,2)上存在零点,需要满足f(1)<0,求得m的取值范围.f(2)>0【详解】因为fx在(1,2)上单调递增,且fx的图象是连续不断的,f(1)=1+1+m<0所以,解得-60故选:B.【方法技巧总结】1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)⋅f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程的根。2.注意:①不满足f(a)⋅f(b)<0的函数也可能有零点.②若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,则f(a)⋅f(b)<0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件.【变式训练】x2+2x,x≤01.(2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习(文))已知函数fx=,则函数gx=lgx,x>0f1-x-1的零点个数为(    ).A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】通过解法方程gx=0来求得gx的零点个数.【详解】由gx=0可得f1-x=1.当x≤0时,x2+2x=1⇒x=-1-2,或x=-1+2(舍去),1当x>0时,lgx=1⇒x=10或x=.10故1-x=-1-2⇒x=2+2是gx的零点,1-x=10⇒x=-9是gx的零点,191-x=⇒x=是gx的零点.1010综上所述,gx共有3个零点.故选:C2.(2022·北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习)函数fx=x3+5x-7的零点所在的区间可以是(    )A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】B【分析】利用零点存在性定理,可得答案.【详解】f0=-7<0,f1=1+5-7=-1<0,f2=8+10-7=11>0,f3=27+15-7=35>0,f4=64+20-7=77>0,由f1f2<0,则函数fx的零点存在的区间可以是1,2,故选:B.13.(2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习)函数fx=2alogx+a⋅4x+3在区间,1上22有零点,则实数a的取值范围是(    )13313A.a<-B.a<-C.-0时,由于函数y=2alogx、y=a⋅4x+3在,1上均为增函数,221此时函数fx在,1上为增函数.21当a<0时,由于函数y=2alogx、y=a⋅4x+3在,1上均为减函数,221此时函数fx在,1上为减函数.211因为函数fx在区间,1上有零点,则f⋅f1<0,223即34a+3<0,解得a<-.4故选:D.题型二:求函数零点或方程根的个数【典例分析】典例2-1.(2022·广东·惠州一中高一期中)函数fx=exlnx-2的零点个数为(    )A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】将问题转化为gx与hx的图像的交点的个数,作出图像即可得解.【详解】因为fx=exlnx-2,令fx=0,则exlnx-2=0,即lnx=1x2,e令gx=lnx,则gx的图像是y=lnx的图像保留x轴上方的图像,同时将x轴下方的图像沿着x轴向上翻折得到的图像,如图所示,1x1x令hx=2,则hx的图像是y=的图像的纵坐标扩大2倍,横坐ee标保持不变得到的图像,如图所示,所以gx与hx的图像有两个交点,即fx=exlnx-2有两个零点.故选:C.典例2-2.(2021·陕西省神木中学高三阶段练习(文))已知函数fx是定义在R上的偶函数,且fx+2=fx,当0≤x≤1时,fx=x,设函数gx=fx-log7x,则函数gx的零点个数为(    )A.6B.8C.12D.14【答案】C【分析】由已知可得函数f(x)的周期,作出两函数y=f(x)与y=log7x在(0,+∞)上的部分图象,数形结合可得两函数在(0,+∞)上的交点公式,再根据对称性得答案.【详解】解:函数fx是定义在R上的偶函数,所以f-x=fx,且fx+2=fx所以f-x=fx+2,则函数y=f(x)的图象关于x=1对称,函数gx=fx-log7x的零点即为fx=log7x的根,又函数fx满足fx+2=fx,则fx的周期为2,函数y=f(x)与y=log7x的图象都关于y轴对称,作出两函数在(0,+∞)上的部分图象如图:由图可知,两函数在(0,+∞)上有6个交点,根据对称性可得,g(x)的零点的个数为12.故选:C.典例2-3.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习)若函数fx的定义域为R,fx-1为偶函数,当1x≥-1时,fx=3-x-1,则函数gx=fx-的零点个数为(    )2A.0B.1C.2D.4【答案】D【分析】根据函数的性质作出函数图象,利用数形结合的思想求解零点的个数.【详解】令3-x-1≥0解得x≤0,令3-x-1<0解得x>0,x1-1-1≤x≤03,x≥-1fx=3-x-1=所以当时,x,-1+1x>03,fx-1为偶函数,所以fx-1的图象关于y轴对称,所以fx的图象关于直线x=-1轴对称,故作出fx的图象如下,11令gx=fx-=0,即fx=,221由图象可知,fx的图象与y=的图象共有四个交点,21所以函数gx=fx-的零点个数为4个.2故选:D.【方法技巧总结】1.核心:函数的零点⇔方程的根⇔函数图象与x轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2.流程:利用函数图象交点的个数:①画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴在给定区间上交点的个数就是函数f(x)的零点个数;②将函数f(x)拆成两个图象易得的函数h(x)和g(x)的差,即f(x)=0等价于h(x)=g(x),则所求的零点个数即为函数y=h(x)和y=g(x)的图象在给定区间上的交点个数.3.注意:若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所给函数是周期函数,则只需求在一个周期内零点的个数.【变式训练】ex,x≥01.(2023·陕西西安·高三期末(理))已知函数fx=,若函数gx=f-x-fx,则函数-3x,x<0gx的零点个数为(    )A.1B.3C.4D.5【答案】D3x-ex,x>0【分析】本题首先通过函数奇偶性求出gx=0,x=0,再利用导数研究其在0,+∞上的零点个xe+3x,x<0数即可.【详解】当x>0时,-x<0,f-x=3x当x<0时,-x>0,f-x=e-x3x-ex,x>0∴gx=f-x-fx=0,x=0,-xe+3x,x<0g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x),且定义域为R,关于原点对称,故gx为奇函数,所以我们求出x>0时零点个数即可,g(x)=3x-ex,x>0,g(x)=3-ex>0,令g(x)=3-ex>0,解得00,而g2=6-e2<0,故gx在(ln3,2)有1零点,111g=1-e3<0,故gx在,ln3上有1零点,图像大致如图所示:33故gx在0,+∞上有2个零点,又因为其为奇函数,则其在-∞,0上也有2个零点,且g0=0,故gx共5个零点,故选:D.2.(2022·安徽·高三阶段练习)已知定义域为R的偶函数fx的图象是连续不断的曲线,且fx+2+fx=f1,fx在0,2上单调递增,则fx在区间-100,100上的零点个数为(    )A.100B.102C.200D.202【答案】A【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.【详解】令x=-1,得f1+f-1=f1,即f-1=0,因为fx为偶函数,所以f1=0,fx+2+fx=f1=0,fx+2=-fx,fx+4=-fx+2=fx,所以fx是以4为周期的函数,因为fx在0,2上单调递增,则fx在-2,0上递减,所以fx在一个周期内有两个零点,故fx在区间-100,100上的零点个数为50×2=100.故选:A3.(2022·山东青岛·高三期中)已知偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对任意x>0,都有f(x)=x1f,且当x∈[1,2)时,f(x)=sinπx,则函数g(x)=f(x)-log|x|+1的零点的个数为(    )232A.8B.10C.12D.14【答案】C1【分析】将问题化为f(x)与y=log|x|-1图象的交点个数,结合偶函数对称性只需研究

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