2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学一、选择题1.设集合，，则（）A.B.C.D.答案：B解析：依题意可知，所以.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间答案：C解析：A.低于万元的比率估计为，正确.B.不低于万元的比率估计为，正确.C.平均值为万元，不正确.D.万到万的比率为，正确.3.已知，则（）A.B.C.D.答案：B解析：.4.下列函数中是增函数的是（）A.B.C.D.答案：D解析：∵，，在上单调递减，在上单调递减，故A，B，C错误；在上单调递增，故D正确.5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A.B.C.D.答案：A解析：双曲线的渐近线为，则点到双曲线的一条渐近线的距离为.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（）A.B.C.D.答案：C解析：代入，知，故.7.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.8.在中，已知，，，则（）A.B.C.D.答案：D解析：由余弦定理可得，解得.9.记为等比数列的前项和.若，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：由等比数列的性质可知：成等比数列，即成等比数列，所以，即，故选A.10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A.B.C.D.答案：C解析：求出所有的排列数，先将个排成一排，有个空位，当每个空位排一个，即从个空位中选个，有种排法，此时个不相邻；当两个相邻时，即从个空位中选出一个来排两个，有种选法，从而总的排法数有个，再根据古典概型概率公式可得概率，故选C.11.若，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：.∴∴∴.又∵.如图，.12.设是定义域为的奇函数，且.若，则（）A.B.C.D.答案：C解析：∵是定义在上的奇函数，∴，∴∴周期为的周期函数.∴.二、填空题13.若向量满足，，，则.答案：解析：，∴，∴，∴，∴，∴.14.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为.答案：解析：圆锥底面半径，体积，则圆锥的高，则母线长，则圆锥的侧面积.15.已知函数的部分图像如图所示，则.答案：解析：由图可知，由，所以.16.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为.答案：解析：答案：解析：如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.设，，则，得.所以，四边形面积为.三、解答题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：，答案：见解析解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频率为；（2）由题意.所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列.答案：见解析解析：∵为等差数列，设公差为.∴，即.∴，∴.∴，∴，即，又同样满足通项公式，所以是等差数列.19．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．答案：见解析；解析；（1），则.又则.,.（2）连，取中点连，，由为，的中点，则，又，，则共面，故面.又在侧面中，则又，则.20.设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.答案：见解析解析：（1）∵，，∴，∴当时函数单调递减，当时，，函数单调递增.∴在上递减，在上递增，（2）当时，结合函数单调性可知若与无交点时即.化简可得即.所以参数的取值范围为21.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.（1）求，的方程；（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由.答案：见解析解析：（1）， .（2）设，，.，所以①.，所以②.所以，是方程的两根.又，所以.所以，即直线与相切.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.答案：见解析解析：（1）.（2）设，，由.又在上，所以.则为为圆心，半径为的圆，所以所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.23.已知函数，.（1）画出和的图象；（2）若，求的取值范围.答案：见解析；解析：（1）；（2）当时，恒不满足，此时；当时，恒成立，必有.当时，时，，，所以.时，，，令，所以.时，，.，所以.所以，.