2012年上海高考数学真题（文科）试卷（原卷版）

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：=（i为虚数单位）.2．若集合，，则=.3．函数的最小正周期是.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为.6．方程的解是.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则.8．在的二项展开式中，常数项等于.9．已知是奇函数.若且.，则.OMxl10．满足约束条件的目标函数的最小值是.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是.13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.14．已知.各项均为正数的数列满足，.若，则的值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （） （A）. （B）. （C）.（D）.16．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 （） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.17．在中，若，则的形状是 （）（A）钝角三角形. （B）直角三角形 （C）锐角三角形.（D）不能确定.18．若，则在中，正数的个数是 （） （A）16. （B）72. （C）86. （D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20．已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）xOyPA21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：=1-2i（i为虚数单位）.2．若集合，，则=.3．函数的最小正周期是.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为6.6．方程的解是.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则.8．在的二项展开式中，常数项等于-20.9．已知是奇函数.若且.，则3.10．满足约束条件的目标函数的最小值是-2.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1,4].13．已知函数的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.14．已知.各项均为正数的数列满足，.若，则的值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （D） （A）. （B）. （C）.（D）.16．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 （B） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.17．在中，若，则的形状是 （A） （A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （D）不能确定.18．若，则在中，正数的个数是 （C） （A）16. （B）72. （C）86. （D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1），2分PABCDE三棱锥P-ABC的体积为.6分（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.8分在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是.12分20．已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）[解]（1）由，得.由得.……3分因为，所以，.由得.……6分（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此.……10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，.……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时.……4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.……6分（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.由，整理得.……10分因为，当且仅当=1时等号成立，所以，即.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）[解]（1）双曲线，左焦点.设，则，……2分由M是右支上一点，知，所以，得.所以.……5分（2）左顶点，渐近线方程：.过A与渐近线平行的直线方程为：，即.解方程组，得.……8分所求平行四边形的面积为.……10分（3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即(*).由，得.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则.，所以.由(*)知，所以OP⊥OQ.……16分23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.[解]（1）数列为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.……4分（2）因为，，所以.……6分因为，，所以，即.……8分因此，.……10分（3）对，；；；.比较大小，可得.……12分因为，所以，即；，即.又，从而，，，.……15分因此=====.……18分