2016年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2016·山东理，1)若复数z满足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．(2016·山东理，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A．56B．60C．120D．1404．(2016·山东理，4)若变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是( )A．4B．9C．10D．125．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)π B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)π6．(2016·山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．(2016·山东理，7)函数f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)的最小正周期是( )A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D．2π8．(2016·山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )A．4B．－4C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)9．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，则f(6)等于( )A．－2B．－1C．0D．210．(2016·山东理，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．12．(2016·山东理，12)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.13．(2016·山东理，13)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．15．(2016·山东理，15)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题：本答题共6小题，共75分．16．(2016·山东理，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝eq\f(tanA,cosB)＋eq\f(tanB,cosA).(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值．18．(2016·山东理，18)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝eq\f(an＋1n＋1,bn＋2n)，求数列{cn}的前n项和Tn.19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是eq\f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq\f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．20．(2016·山东理，20)已知f(x)＝a(x－lnx)＋eq\f(2x－1,x2)，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋eq\f(3,2)对于任意的x∈[1,2]成立．21．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq\f(\r(3),2)，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求eq\f(S1,S2)的最大值及取得最大值时点P的坐标．答案解析1.解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝3，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴z＝1－2i，故选B.答案 B2.解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.答案 D10.解析 对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝eq\f(1,x)恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案 A11.解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，ab，输出i的值为3.答案 312.解析 ∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(ax2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝a5－rCeq\o\al(r,5)x，∴10－eq\f(5,2)r＝5，解得r＝2，∴a3Ceq\o\al(3,5)＝－80，解得a＝－2.答案 －213.解析 由已知得|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－3eq\f(c,a)－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案 214.解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，解得－eq\f(3,4)m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2