2013年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）(A)(B)(C)(D)理科数学9、过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)+P(B)如果事件A、B独立，那么P(AB)P(A)P(B)。(A)2xy30(B)2xy30(C)4xy30(D)4xy30第Ⅰ卷（共60分）10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A)243(B)252(C)261(D)279一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。212x21、复数z满组(z3)(2i)5（z为虚数单位），则z的共轭复数z为11、抛物线C1:yx(p0)的焦点与双曲线C2:y1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C12p3(A)2i(B)2i(C)5i(D)5i在点M处的切线平行于C的一条渐近线，则p2、已知集合A0,1,2，则集合BxyxA,yA中元素的个数是2(A)1(B)3(C)5(D)93323431(A)(B)(C)(D)3、已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2,则f(1)16833x(A)-2(B)0(C)1(D)2xy21212、设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为9zxyz4、已知三棱柱ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形，若P为底面ABC的11141119开始中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(A)0(B)1(C)(D)345(A)(B)(C)(D)12346第Ⅱ卷（共90分）输入(0)5、将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、执行右图所示的程序框图，若输入c的值为0.25，F01,F12,n1则输出的的值为3n_______.(A)(B)(C)0(D)44414、在区间[-3,3]上随机取一个数x，F1F0F12xy20，使得x1x21成立的概率为______.6、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组x2y10,所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最0FFF3xy8015、已知向量AB与AC的夹角为120，010小值为11且AB3,AC2.若APABAC，(A)2(B)1(C)(D)nn132且APBC，则实数的值为____________.7、给定两个命题p,q.若p是q的必要不充分条件，则p是q的否充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件0,0x1,(A)(B)(C)(D)16、定义“正对数”：lnx现有四个命题：1lnx,x1.8、函数yxcosxsinx的图象大致为F1①若a0,b0，则ln(ab)blna；yyyy是②若a0,b0，则ln(ab)lnalnb；xxxxOOOO输出na③若a0,b0，则ln()lnalnb；b1结束④若a0,b0，则ln(ab)lnalnbln2.其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.20、（本小题满分12分）设等差数列a的前n项和为S，且S4S,a2a1.17、（本小题满分12分）nn422nn7设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且ac6,b2,cosB..（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；9na1（Ⅰ）求a,c的值；（Ⅱ）设数列{b}的前n项和为T，且Tn（为常数）。令c2b,(nN*)，求数列{c}的前Pnnn2nn2nn（Ⅱ）求sin(AB)的值.n项和Rn。FEHGBC18、（本小题满分12分）ADQ如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，21、（本小题满分13分）BABPBQ，D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BPx设函数f(x)c（e2.71828…是自然对数的底数，cR）e2x的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值；PC与FQ交于点H，连接GH.（Ⅱ）讨论关于x的方程lnxf(x)根的个数。（Ⅰ）求证：AB//GH；（Ⅱ）求二面角DGHE的余弦值。22、（本小题满分13分）19、（本小题满分12分）x2y231椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F,F，离心率为，过F且垂直于x轴甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是a2b2122122的直线被椭圆C截得的线段长为1.外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF,PF。设FPF的角平分线PM交C（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对1212方得1分。求乙队得分X的分布列和数学期望。的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。设直线11PF,PF的斜率分别为k,k，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.1212kkkk1224．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ） A．B．C．D．一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）考点：直线与平面所成的角．3253948 A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为考点：复数的基本概念．3253948∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∴z=5+i，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∴=5﹣i．∵==．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得． 2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1， A．1B．3C．5D．9在Rt△AAP中，，考点：集合中元素个数的最值．32539481专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．∴．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；故选B．当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（ ） A．﹣2B．0C．1D．2考点：函数的值．3253948点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，可能的值为（ ）∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， A．B．C．0D．故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题． 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．32539483专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．∴φ=kπ+，k∈Z， 7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）∴当k=0时，φ=． A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件故φ的一个可能的值为．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3253948点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．专题：规律型． 分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，率的最小值为（ ）则p是¬q的充分不必要条件． A．2B．1C．D．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．考点：简单线性规划．3253948 专题：不等式的解法及应用．8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点 A．B．C．D．（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．考点：函数的图象．3253948故选C．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．4故正确的选项为D．所以双曲线的右焦点为（2，0）．故选D．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 9．（5分）（2013山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）•即