2016年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷1212A.＋πB.＋π一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．33331．(2016·山东，1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁(A∪B)等于( )122UC.＋πD．1＋π366A．{2,6}B．{3,6}C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}6．(2016·山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平2面β相交”的( )2．(2016·山东，2)若复数z＝，其中i为虚数单位，则z＝( )1－iA．充分不必要条件B．必要不充分条件A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iC．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2016·山东，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，7．(2016·山东，7)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离8．(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于( )3ππππA.B.C.D.A．56B．60C．120D．140434634．(2016·山东，4)若变量x，y满足Error!则x2＋y2的最大值是( )9．(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞111时，fx＋＝fx－.则f(6)等于( )A．4B．9C．10D．122(2)(2)5．(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )A．－2B．－1C．0D．210．(2016·山东，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．第Ⅱ卷15．(2016·山东，15)已知函数f(x)＝Error!其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)三、解答题本大题共6小题，共75分．11．(2016·山东，11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．16．(2016·山东，16)(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；12．(2016·山东，12)观察下列等式：②若xy≥8，则奖励水杯一个；π2π4③其余情况奖励饮料一瓶．sin－2＋sin－2＝×1×2；(3)(3)3假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．π2π3π4π4sin－2＋sin－2＋sin－2＋sin－2＝×2×3；(5)(5)(5)(5)3(1)求小亮获得玩具的概率；π2π3π6π4sin－2＋sin－2＋sin－2＋…＋sin－2＝×3×4；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．(7)(7)(7)(7)317．(2016·山东，17)(本小题满分12分)设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.π2π3π8π4sin－2＋sin－2＋sin－2＋…＋sin－2＝×4×5；99993()()()()(1)求f(x)的单调递增区间；…π(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到3π2π3π2nπ照此规律，sin－2＋sin－2＋sin－2＋…＋sin－2＝__________.π(2n＋1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋1)函数y＝g(x)的图象，求g的值．(6)13．(2016·山东，13)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．18．(2016·山东，18)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.x2y214．(2016·山东，14)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点a2b2(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.219．(2016·山东，19)(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；an＋1n＋1(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.bn＋2n20．(2016·山东，20)(本小题满分13分)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．x2y221．(2016·山东，21)(本小题满分14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为22.a2b2(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.k′①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明为定值．k②求直线AB的斜率的最小值．|a||a|答案解析圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋(2)2＝a2，解得a＝2.2(2)1.解析 ∵A∪B＝{1,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}，故选A.∴M(0,2)，r1＝2.答案 A又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，21＋i∴|MN|＝1－02＋1－22＝2，r＋r＝3，r－r＝1.2.解析 ∵z＝＝1＋i，∴z＝1－i，故选B.12121－i1＋i∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.答案 B答案 B3.解析 由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，8.解析 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴人数是200×0.7＝140，故选D.∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，答案 D∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，4.解析 满足条件Error!的可行域如下图阴影部分(包括边界)．x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平22π方，显然当x＝3，y＝－1时，x＋y取最大值，最大值为10.故选C.∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.4答案 C1119.解析 当x＞时，fx＋＝fx－，222()()答案 C即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，211∴f(6)＝f(1)．5.解析 由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×232当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，4212π×3＝＋π，故选C.3(2)36∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝[(－1)3－1]＝2，故选D.答案 C答案 D6.解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；10.解析 对于函数y＝sinx，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1；当x＝π时，该点处切线若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；答案 1A对于y＝lnx，y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；x2227.解析 ∵圆M：x＋(y－a)＝a，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，对于y＝ex，y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对于y＝x3，y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案 A当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，11.解析 输入n的值为3，在(m，＋∞)为增函数．第1次循环：i＝1，S＝2－1，i＜n；若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，第2次循环：i＝2，S＝3－1，i＜n；则m2－2m·m＋4m＜|m|.第3次循环：i＝3，S＝1，i＝n.∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.输出S的值为1.答案 (3，＋∞)答案 116.解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，412.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．34因为S中元素的个数是4×4＝16.答案 ×n×(n＋1)3所以基本事件总数n＝16.13.解析 ∵a⊥(ta＋b)，∴ta2＋a·b＝0，记“xy≤3”为事件A，又∵a2＝2，a·b＝10，∴2t＋10＝0，∴t＝－5.则事件A包含的基本事件数共5个，答案 －5即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，2b214.解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，a55所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.16162b2∴2×＝3×2c.a(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.cc则事件B包含的基本事件数共6个．又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.(a)a即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．答案 263所以P(B)＝＝.15.解析 如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.168事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．18.证明 (1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，535如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以P(C)＝.因为＞，16816所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率．17.解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.＝sin2x－3cos2x＋3－1又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.π＝2sin2x－＋3－1.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(3)(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，232π5π得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．1212π5ππ5π所以f(x)的单调递增区间是kπ－，kπ＋(k∈Z)或kπ－，kπ＋k∈Z.[1212]((1212))π在△CEF中，因为G是CE的中点，(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－＋3－1，(3)所以GI∥EF.又EF∥DB，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．所以GI∥DB.π得到y＝2sinx－＋3－1的图象．(3)在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥B