2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 24页 · 1.9 M

2012年全国统一高考数学试卷文科)(大纲版)一.选择题1.(5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D2.(5分)函数的反函数是( )A.y=x2﹣1(x≥0)B.y=x2﹣1(x≥1)C.y=x2+1(x≥0)D.y=x2+1(x≥1)3.(5分)若函数是偶函数,则φ=( )A.B.C.D.4.(5分)已知α为第二象限角,,则sin2α=( )A.B.C.D.5.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为( )A.B.C.D.6.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则当n>1时,Sn=( )A.()n﹣1B.2n﹣1C.()n﹣1D.(﹣1)7.(5分)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( )A.240种B.360种C.480种D.720种8.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )A.2B.C.D.19.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )第1页(共24页)A.B.C.D.2210.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x﹣y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.11.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,.定点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )A.8B.6C.4D.3 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,在试卷上作答无效)13.(5分)的展开式中x2的系数为 .14.(5分)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 .15.(5分)当函数y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x= .16.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效!17.(10分)△ABC中,内角A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.第2页(共24页)18.(12分)已知数列{an}中,a1=1,前n项和(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.第3页(共24页)20.(12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,对方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球两次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1:2的概率;(2)求开始第5次发球时,甲领先得分的概率.21.(12分)已知函数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.22.(12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r;(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离. 第4页(共24页)2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析 一.选择题1.(5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】直接利用四边形的关系,判断选项即可.【解答】解:因为菱形是平行四边形的特殊情形,所以D⊂A,矩形与正方形是平行四边形的特殊情形,所以B⊂A,C⊂A,正方形是矩形,所以C⊆B.故选:B.【点评】本题考查集合的基本运算,几何图形之间的关系,基础题. 2.(5分)函数的反函数是( )A.y=x2﹣1(x≥0)B.y=x2﹣1(x≥1)C.y=x2+1(x≥0)D.y=x2+1(x≥1)【考点】4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】直接利用反函数的求法求解即可.【解答】解:因为函数,解得x=y2﹣1,所以函数的反函数是y=x2﹣1(x≥0).故选:A.【点评】本题考查函数的反函数的求法,考查计算能力.第5页(共24页) 3.(5分)若函数是偶函数,则φ=( )A.B.C.D.【考点】H6:正弦函数的奇偶性和对称性;HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式,然后求出ϕ的值.【解答】解:因为函数是偶函数,所以,k∈z,所以k=0时,ϕ=∈[0,2π].故选:C.【点评】本题考查正弦函数的奇偶性,三角函数的解析式的应用,考查计算能力. 4.(5分)已知α为第二象限角,,则sin2α=( )A.B.C.D.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式,求出cosα,然后利用二倍角公式求解即可.【解答】解:因为α为第二象限角,,所以cosα=﹣=﹣.所以sin2α=2sinαcosα==.故选:A.【点评】本题考查二倍角的正弦,同角三角函数间的基本关系的应用,考查计第6页(共24页)算能力. 5.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为( )A.B.C.D.【考点】K3:椭圆的标准方程;K4:椭圆的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】确定椭圆的焦点在x轴上,根据焦距为4,一条准线为x=﹣4,求出几何量,即可求得椭圆的方程.【解答】解:由题意,椭圆的焦点在x轴上,且∴c=2,a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选:C.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于基础题. 6.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则当n>1时,Sn=( )A.()n﹣1B.2n﹣1C.()n﹣1D.(﹣1)【考点】8H:数列递推式.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出.第7页(共24页)【解答】解:∵Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1﹣Sn),即3Sn=2Sn+1,由a1=1,所以Sn≠0.则=.∴数列{Sn}为以1为首项,公比为的等比数列∴Sn=.故选:A.【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.(5分)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( )A.240种B.360种C.480种D.720种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】直接从中间的4个演讲的位置,选1个给甲,其余全排列即可.【解答】解:因为6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择,剩余的元素与位置进行全排列有,所以甲只能在中间的4个位置,所以不同的演讲次序有=480种.故选:C.【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用,考查计算能力. 8.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )A.2B.C.D.1【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有第8页(共24页)【专题】11:计算题.【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE,再将线面距离转化为点面距离,最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解:如图:连接AC,交BD于O,在三角形CC1A中,易证OE∥C1A,从而C1A∥平面BDE,∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离,设为h,在三棱锥E﹣ABD中,VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥A﹣BDE中,BD=2,BE=,DE=,∴S△EBD=×2×=2∴VA﹣BDE=×S△EBD×h=×2×h=∴h=1故选:D.【点评】本题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题 9.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )A.B.C.D.【考点】9Y:平面向量的综合题.菁优网版权所有【分析】由题意可得,CA⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可得,AC2=AD•AB可求AD,进而可求,从而可求与的关系,进而可求第9页(共24页)【解答】解:∵•=0,∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1,||=2∴AB=由射影定理可得,AC2=AD•AB∴∴∴==故选:D.【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用,向量的基本运算的应用,向量的数量积的性质的应用. 2210.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x﹣y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求cos∠F1PF2的值.【解答】解:将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1,则a=,b=,第10页(共24页)c=2,设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∵|F1F2|=2c=4,∴cos∠F1PF2====.故选:C.【点评】本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题. 11.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x【考点】72:不等式比较大小.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】利用x=lnπ>1,0<y=log52<,1>z=>,即可得到答案.【解答】解:∵x=lnπ>lne=1,0<log52<log5=,即y∈(0,);1=e0>=>=,即z∈(,1),∴y<z<x.故选:D.【点评】本题考查不等式比较大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于基础题. 12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,.定点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,第11页(共24页)反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )A.8B.6C.4D.3【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.菁优网版权所有【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,通过相似三角形,来确定反射后的点的位置,从而可得反射的次数.【解答】解:根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,第一次碰撞点为F,在反射的过程中,直线是平行的,利用平行关系及三角形的

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