2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 13页 · 1.3 M

2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)文科数学一、选择题1.已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B等于( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.∅答案 C解析 A∩B={x|x>-1}∩{x|x<2}={x|-1解析 ∵z=i(2+i)=-1+2i,∴=-1-2i.3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|等于( )A.2B.2C.52D.50答案 A解析 ∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),∴|a-b|==.4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )2321A.B.C.D.3555答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1,a2,a3,未测量过这项指标的2只为b1,b2,则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为=.5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案 A解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)等于( )A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案 D解析 当x<0时,-x>0,∵当x≥0时,f(x)=ex-1,∴f(-x)=e-x-1.又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-e-x+1.7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案 B解析 对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确,对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确,综上可知选B.3蟺8.若x=,x=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω等于( )12{4}31A.2B.C.1D.22答案 A解析 由题意及函数y=sinωx的图象与性质可知,T=-,∴T=π,∴=π,∴ω=2.푥2푦29.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆4+=1的一个焦点,则p等于( )3푝푝A.2B.3C.4D.8答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.10.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0答案 C解析 设y=f(x)=2sinx+cosx,则f′(x)=2cosx-sinx,∴f′(π)=-2,∴曲线在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.11.已知α∈,2sin2α=cos2α+1,则sinα等于( )15325A.B.C.D.5535答案 B解析 由2sin2α=cos2α+1,得4sinαcosα=1-2sin2α+1,即2sinαcosα=1-sin2α.因为α∈,所以cosα=,所以2sinα=1-sin2α,解得sinα=,故选B.푥2푦212.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆푎2푏2与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )A.2B.3C.2D.5答案 A解析 如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为2+y2=①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=,故选A.二、填空题13.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最大值是________.答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,由图易知,当直线y=3x-z过点C时,-z最小,即z最大.由解得即C点坐标为(3,0),故zmax=3×3-0=9.14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.答案 0.98解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=________.答案 解析 ∵bsinA+acosB=0,∴=,由正弦定理,得-cosB=sinB,∴tanB=-1,又B∈(0,π),∴B=.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________. 答案 26 2-1解析 依题意知,题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上,且该半正多面体的表面由18个正方形,8个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x,则x+x+x=1,解得x=-1,故题中的半正多面体的棱长为-1.三、解答题17.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.(1)证明 由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B1C1,EC1⊂平面EB1C1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解 由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.如图,作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.18.已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.n-12n-1因此{an}的通项公式为an=2×4=2.2n-1(2)由(1)得bn=log22=(2n-1)log22=2n-1,2因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n.19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:74≈8.602.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.产值负增长的企业频率为=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)=×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,22s=i(yi-)=×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296,s==0.02×≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.푥2푦220.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原푎2푏2点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率为e==-1.(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②又+=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=.又由①知y2=,故b=4.由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).21.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.证明 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=+lnx-1=lnx-(x>0).因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.ln4-1又f′(1)=-1<0,f′(2)=ln2-=>0,2故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.又当0x0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,因此,f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)0,所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α.由10)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=时,求ρ0及l

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