2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 24页 · 397 K

2010年全国统一高考数学试卷理科)(大纲版Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数()2=( )A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i 2.(5分)函数的反函数是( )A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) B.y=e2x﹣1+1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4 4.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )A.14 B.21 C.28 D.35 5.(5分)不等式>0的解集为( )A.{x|x<﹣2,或x>3} B.{x|x<﹣2,或1<x<3} C.{x|﹣2<x<1,或x>3} D.{x|﹣2<x<1,或1<x<3} 6.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象( )A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 8.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=( )A.+ B.+ C.+ D.+ 9.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( )A.1 B. C.2 D.3 10.(5分)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=( )A.64 B.32 C.16 D.8 11.(5分)与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 12.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=( )A.1 B. C. D.2 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知a是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣,则tanα= .14.(5分)若(x﹣)9的展开式中x3的系数是﹣84,则a= .15.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p= .16.(5分)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN= . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.18.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:++…+>3n.19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小.20.(12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求P;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.21.(12分)已知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.22.(12分)设函数f(x)=1﹣e﹣x.(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围. 2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数()2=( )A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成整式形式,再进行复数的乘方运算,合并同类项,得到结果.【解答】解:()2=[]2=(1﹣2i)2=﹣3﹣4i.故选:A.【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算,是一个基础题,解题时没有规律和技巧可寻,只要认真完成,则一定会得分. 2.(5分)函数的反函数是( )A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) B.y=e2x﹣1+1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) 【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】从条件中中反解出x,再将x,y互换即得.解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y换位,2、解:解出y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数.【解答】解:由原函数解得x=e2y﹣1+1,∴f﹣1(x)=e2x﹣1+1,又x>1,∴x﹣1>0;∴ln(x﹣1)∈R∴在反函数中x∈R,故选:D.【点评】求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y);(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置;(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域). 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】31:数形结合.【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到m值即可.【解答】解:作出可行域,作出目标函数线,可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点,∴即为B(1,1),当x=1,y=1时zmax=3.故选:C.【点评】本题考查了线性规划的知识,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 4.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )A.14 B.21 C.28 D.35 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解.【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选:C.【点评】本题主要考查等差数列的性质. 5.(5分)不等式>0的解集为( )A.{x|x<﹣2,或x>3} B.{x|x<﹣2,或1<x<3} C.{x|﹣2<x<1,或x>3} D.{x|﹣2<x<1,或1<x<3} 【考点】73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】解,可转化成f(x)•g(x)>0,再利用根轴法进行求解.【解答】解:⇔⇔(x﹣3)(x+2)(x﹣1)>0利用数轴穿根法解得﹣2<x<1或x>3,故选:C.【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法,属于不等式的基础题. 6.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分步计数问题,首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42,余下放入最后一个信封,根据分步计数原理得到结果.【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题,∵先从3个信封中选一个放1,2,有=3种不同的选法;根据分组公式,其他四封信放入两个信封,每个信封两个有=6种放法,∴共有3×6×1=18.故选:B.【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个步骤,先平均分组,再排列. 7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象( )A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有【专题】1:常规题型.【分析】先将2提出来,再由左加右减的原则进行平移即可.【解答】解:y=sin(2x+)=sin2(x+),y=sin(2x﹣)=sin2(x﹣),所以将y=sin(2x+)的图象向右平移个长度单位得到y=sin(2x﹣)的图象,故选:B.【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的x来说的. 8.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=( )A.+ B.+ C.+ D.+ 【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有【分析】由△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,根据三角形内角平分线定理,我们易得到,我们将后,将各向量用,表示,即可得到答案.【解答】解:∵CD为角平分线,∴,∵,∴,∴故选:B.【点评】本题考查了平面向量的基础知识,解答的核心是三角形内角平分线定理,即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线,则AB:AC=BD:CD 9.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( )A.1 B. C.2 D.3 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得最大值时,高的值.【解答】解:设底面边长为a,则高h==,所以体积V=a2h=,设y=12a4﹣a6,则y′=48a3﹣3a5,当y取最值时,y′=48a3﹣3a5=0,解得a=0或a=4时,当a=4时,体积最大,此时h==2,故选:C.【点评】本试题主要考查椎体的体积,考查高次函数的最值问题的求法.是中档题. 10.(5分)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=( )A.64 B.32 C.16 D.8 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】31:数形结合.【分析】欲求参数a值,必须求出在点(a,)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=a处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程,最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式.从而问题解决.【解答】解:y′=﹣,∴k=﹣,切线方程是y﹣=﹣(x﹣a),令x=0,y=,令y=0,x=3a,∴三角形的面积是s=•3a•=18,解得a=64.故选:A.【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算能力. 11.(5分)与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有【专题】16:压轴题.【分析】由于点D、B1显然满足要求,猜想B1D上任一点都满足要求,然后想办法证明结论.【解答】解:在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系,并设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P,因为=(1,1,1),所

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