2000年江西高考文科数学真题及答案

2000年江西高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）设集合且，，且，则中的元素个数是 A．11 B．10 C．16 D．152．（4分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①；②；③不与垂直；④．其中的真命题是 A．②④ B．③④ C．②③ D．①②3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是 A． B． C．6 D．4．（4分）已知，那么下列命题成立的是 A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第三象限角，则 D．若、是第四象限角，则5．（4分）函数的部分图象是 A． B． C． D．6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分超过500元至2000元的部分超过2000元至5000元的部分某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 A．元 B．元 C．元 D．元7．（4分）若，，，，则 A． B． C． D．8．（4分）已知两条直线，，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是 A． B．， C．，， D．9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A． B． C． D．10．（4分）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A． B． C． D．11．（4分）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则等于 A． B． C． D．12．（4分）二项式的展开式中系数为有理数的项共有 A．6项 B．7项 C．8项 D．9项二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ．14．（5分）椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是 ．15．（5分）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是 ．16．（5分）如图，、分别是正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题（共7小题，满分82分）17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？18．（12分）如图，直三棱柱，底面中，，，棱，、分别是、的中点．（1）求的长；（2）求的值；（3）求证．19．（12分）如图，已知平行六面体的底面上菱形，且，（1）证明：；（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．20．（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求．21．（12分）设函数，其中，（1）解不等式；（2）证明：当时，函数在区间，上是单调函数．22．（12分）用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．23．（12分）如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．求双曲线的离心率．2000年天津市高考数学试卷（文）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）设集合且，，且，则中的元素个数是 A．11 B．10 C．16 D．15【解答】解：由集合中的条件可得中的元素有：，，，，共10个；集合中的不等式解得且，所以中的元素有：，，，，，0，1，2，3，4，5共11个所以中的元素有：，，，，，0，1，2，3，4，5共16个故选：．2．（4分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①；②；③不与垂直；④．其中的真命题是 A．②④ B．③④ C．②③ D．①②【解答】解：由于是不共线的向量，因此不一定等于，故①错误；由于不共线，故构成三角形，因此②正确；由于，故③中两向量垂直，故③错误；根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选．3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是 A． B． C．6 D．【解答】解：设长方体三度为，，，则．三式相乘得．故选：．4．（4分）已知，那么下列命题成立的是 A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第三象限角，则 D．若、是第四象限角，则【解答】解：若、同属于第一象限，则，；故错．第二象限，则，；故错．第三象限，则，；故错．第四象限，则，．（均假定，．故正确．故选：．5．（4分）函数的部分图象是 A． B． C． D．【解答】解：设，则，为奇函数；又时，此时图象应在轴的下方故选：．6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分超过500元至2000元的部分超过2000元至5000元的部分某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 A．元 B．元 C．元 D．元【解答】解：设收入为元，税款为元，则当时，；当，时，；当，时，．题设，故．故选：．7．（4分）若，，，，则 A． B． C． D．【解答】解：由平均不等式知．同理．故选：．8．（4分）已知两条直线，，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是 A． B．， C．，， D．【解答】解：直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，．的斜率的取值范围是，，，即，，，故选：．9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A． B． C． D．【解答】解：设圆柱底面积半径为，则高为，全面积：侧面积．故选：．10．（4分）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A． B． C． D．【解答】解：如图，圆方程为，圆心为，半径为1，．故选：．11．（4分）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则等于 A． B． C． D．【解答】解：如图：设直线方程是，则，是方程的两根，，其中．同理．从而．故选：．12．（4分）二项式的展开式中系数为有理数的项共有 A．6项 B．7项 C．8项 D．9项【解答】解：展开式的通项项的系数为要使系数为有理数，需是6的倍数所以，6，12，18，24，30，36，42，48，故展开式中系数为有理数的项共有9项故选：．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ．【解答】解：含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，其中每个个体被抽到的概率相等，总体中每个个体被抽到的概率是，故答案为：．14．（5分）椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是 为： ．【解答】解：如图，设，则，且是钝角．故答案为：．15．（5分）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是 ．【解答】解：（另解不合题意舍去），，即，故答案为：．16．（5分）如图，、分别是正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是 ②③ ．（要求：把可能的图的序号都填上）【解答】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面、面、面上的射影．四边形在面和面上的射影相同，如图②所示；四边形在该正方体对角面的内，它在面上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故答案为②③三、解答题（共7小题，满分82分）17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为．（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为．18．（12分）如图，直三棱柱，底面中，，，棱，、分别是、的中点．（1）求的长；（2）求的值；（3）求证．【解答】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系．（1）依题意得，1，，，0，，（2分）（2）依题意得，0，，，1，，，0，，，1，．，，，，（5分）（9分）（3）证明：依题意得，0，，，1，，，，（12分）19．（12分）如图，已知平行六面体的底面上菱形，且，（1）证明：；（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．【解答】（1）证明：如图，连接、和交于，连接．四边形是菱形，，．又，，△△，，，（3分）又，，平面，又平面，．（6分）（2）当时，能使平面．，，又，由此可推得．三棱锥是正三棱锥．（9分）设与相交于．，且，．又是正三角形的边上的高和中线，点是正三角形的中心，平面，即平面．（12分）20．（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求．【解答】解：设等差数列的公差为，则．，，即解得，．，，数列是等差数列，其首项为，公差为，．21．（12分）设函数，其中，（1）解不等式；（2）证明：当时，函数在区间，上是单调函数．【解答】（1）解：不等式即，由此得，即，其中常数．所以，原不等式等价于即（3分）所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为．（6分）（2）证明：在区间，上任取，使得，，又，，即．所以，当时，函数在区间，上是单调递减函数．（12分）22．（12分）用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．【解答】解：设容器底面短边长为，则另一边长为，高为由和，得，设容器的容积为，则有整理，得，（4分）（6分）令，有，即，解得，（不合题意，舍去）．（8分）从而，在定义域内只有在处使．由题意，若过小（接近或过大（接近时，值很小（接近，因此，当时取得最大值，，这时，高为．答：容器的高为时容积最大，最大容积为．（12分）23．（12分）如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．求双曲线的离心率．【解答】解：如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，则轴．因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．（2分）依题意，记，，，，其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点的坐标为，．（5分）设双曲线的方程为，则离心率．由点、在双曲线上，得（10分）解得，化简可得，所以，离心率（14分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/2723:02:56；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156