2018年海南省高考数学试题及答案（文科）

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A． B． C． D．2．已知集合，，则A． B． C． D．3．函数的图像大致为4．已知向量，满足，，则A．4 B．3 C．2 D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．7．在中，，，，则A． B． C． D．8．为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A． B．C． D．9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A． B． C． D．10．若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A． B．0 C．2 D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为__________．14．若满足约束条件则的最大值为__________．15．已知，则__________．16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值．18．（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．20．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C二、填空题13．y=2x–2 14．9 15． 16．8π三、解答题17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．20．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．21．解：（1）当a=3时，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（，）时，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．22．解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．23．解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i(2+3i)=()A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i解析：选D2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=()A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}解析：选C3．函数f(x)=eq\f(ex-e-x,x2)的图像大致为()解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=eq\f(e2-e-2,4)>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4 B．3 C．2 D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3解析：选D5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。6．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y=±eq\r(2)x B．y=±eq\r(3)x C．y=±eq\f(\r(2),2)x D．y=±eq\f(\r(3),2)x解析：选Ae=eq\r(3)c2=3a2b=eq\r(2)a7．在ΔABC中，coseq\f(C,2)=eq\f(\r(5),5)，BC=1，AC=5，则AB=()A．4eq\r(2) B．eq\r(30) C．eq\r(29) D．2eq\r(5)解析：选AcosC=2cos2eq\f(C,2)-1=-eq\f(3,5)AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4eq\r(2)8．为计算S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+……+eq\f(1,99)-eq\f(1,100)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：选B9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2) C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(7),2)解析：选C即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=eq\r(5),故选C10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2) C．eq\f(3π,4) D．π解析：选Cf(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4)),依据f(x)=cosx与f(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4))的图象关系知a的最大值为eq\f(3π,4)。11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，则C的离心率为()A．1-eq\f(\r(3),2) B．2-eq\r(3) C．eq\f(\r(3)-1,2) D．eq\r(3)-1解析：选D依题设|PF1|=c,|PF2|=eq\r(3)c,由|PF1|+|PF2|=2a可得12．已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50 B．0 C．2 D．50解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：y=2x-214．若x,y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\al\co2(x+2y-5≥0,,x-2y+3≥0,,x-5≤0,)),则z=x+y的最大值为__________．解析：915．已知tan(α-eq\f(5π,4))=eq\f(1,5)，则tanα=__________．解