2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学一、选择题1．已知集合M＝{x|－4解析 ∵N＝{x|－21，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a0，∴排除C；∵f(1)＝QUOTE，且sin1>cos1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案 A解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为QUOTE＝QUOTE＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝QUOTE＝QUOTE.故选A.7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案 B解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝QUOTE，∵α∈[0，π]，∴α＝QUOTE，故选B.8．如图是求QUOTE的程序框图，图中空白框中应填入( )A．A＝QUOTE B．A＝2＋QUOTEC．A＝QUOTE D．A＝1＋QUOTE答案 A解析 A＝QUOTE，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝QUOTE，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝QUOTE，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝QUOTE.故选A.9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝QUOTEn2－2n答案 A解析 设等差数列{an}的公差为d，∵QUOTE∴QUOTE解得QUOTE∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋QUOTEd＝n2－4n.故选A.10．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.QUOTE＋y2＝1 B.QUOTE＋QUOTE＝1C.QUOTE＋QUOTE＝1 D.QUOTE＋QUOTE＝1答案 B解析 由题意设椭圆的方程为QUOTE＋QUOTE＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝QUOTE，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝QUOTE＝QUOTE.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝QUOTE＝QUOTE，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以QUOTE＝1－2QUOTE2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为QUOTE＋QUOTE＝1，故选B.11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间QUOTE上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A．①②④B．②④C．①④D．①③答案 C解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当QUOTE0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若QUOTE＝QUOTE，QUOTE·QUOTE＝0，则C的离心率为________．答案 2解析 因为eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图．因为QUOTE＝QUOTE，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝QUOTE，tan∠BF1O＝QUOTE.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以QUOTE＝QUOTE，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝QUOTE＝2.三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若QUOTEa＋b＝2c，求sinC.解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝QUOTE＝QUOTE，因为0°