2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 30页 · 402.5 K

2013年全国统一高考数学试卷文科)(新课标Ⅰ)一、选择题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( )A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 2.(5分)=( )A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.1﹣i 3.(5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B. C. D. 4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y= B.y= C.y=±x D.y= 5.(5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 6.(5分)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )A.Sn=2an﹣1 B.Sn=3an﹣2 C.Sn=4﹣3an D.Sn=3﹣2an 7.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于( )A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 8.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2 B.2 C.2 D.4 9.(5分)函数f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的图象大致为( )A. B. C. D. 10.(5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10 B.9 C.8 D.5 11.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 12.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0] 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t= .14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为 .15.(5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .16.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ= . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=﹣5.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前n项和.18.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.20.(12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( )A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值,确定出集合B,找出两集合的公共元素,即可求出交集.【解答】解:根据题意得:x=1,4,9,16,即B={1,4,9,16},∵A={1,2,3,4},∴A∩B={1,4}.故选:A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)=( )A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.1﹣i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用分式的分母平方,复数分母实数化,运算求得结果.【解答】解:====﹣1+i.故选:B.【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,复数的乘方运算,考查计算能力. 3.(5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B. C. D. 【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个,共有C42种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种,得到概率.【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个,共有C42=6种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2,有2种结果,分别是(1,3),(2,4),∴要求的概率是=.故选:B.【点评】本题考查等可能事件的概率,是一个基础题,本题解题的关键是事件数是一个组合数,若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果. 4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y= B.y= C.y=±x D.y= 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题. 5.(5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 【考点】2E:复合命题及其真假.菁优网版权所有【专题】21:阅读型;5L:简易逻辑.【分析】举反例说明命题p为假命题,则¬p为真命题.引入辅助函数f(x)=x3+x2﹣1,由函数零点的存在性定理得到该函数有零点,从而得到命题q为真命题,由复合命题的真假得到答案.【解答】解:因为x=﹣1时,2﹣1>3﹣1,所以命题p:∀x∈R,2x<3x为假命题,则¬p为真命题.令f(x)=x3+x2﹣1,因为f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数f(x)=x3+x2﹣1在(0,1)上存在零点,即命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2为真命题.则¬p∧q为真命题.故选:B.【点评】本题考查了复合命题的真假,考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题. 6.(5分)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )A.Sn=2an﹣1 B.Sn=3an﹣2 C.Sn=4﹣3an D.Sn=3﹣2an 【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由题意可得数列的通项公式,进而可得其求和公式,化简可得要求的关系式.【解答】解:由题意可得an=1×=,∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an,故选:D.【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式,涉及指数的运算,属中档题. 7.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于( )A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图.【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选:A.【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准;③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式. 8.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2 B.2 C.2 D.4 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据抛物线方程,算出焦点F坐标为().设P(m,n),由抛物线的定义结合|PF|=4,算出m=3,从而得到n=,得到△POF的边OF上的高等于2,最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积.【解答】解:∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4,可得=,得焦点F()设P(m,n)根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即m+=4,解得m=3∵点P在抛物线C上,得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选:C.【点评】本题给出抛物线C:y2=4x上与焦点F的距离为4的点P,求△POF的面积.着重考查了三角形的面积

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