2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

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2009年全国统一高考数学试卷理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.(5分)已知=2+i,则复数z=( )A.﹣1+3i B.1﹣3i C.3+i D.3﹣i 3.(5分)不等式<1的解集为( )A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1} C.{x|﹣1<x<0} D.{x|x<0} 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为( )A. B.2 C. D. 5.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 6.(5分)设、、是单位向量,且,则•的最小值为( )A.﹣2 B.﹣2 C.﹣1 D.1﹣ 7.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 8.(5分)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( )A. B. C. D. 9.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 10.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( )A.1 B.2 C. D.4 11.(5分)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,则( )A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 12.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=( )A. B.2 C. D.3 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 .14.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,则a2+a5+a8= .15.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于 .16.(5分)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为 . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.18.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.19.(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.20.(12分)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+)an+.(1)设bn=,求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.21.(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.22.(12分)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2].(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:. 2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B,再根据补集的含义求解.【解答】解:A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9}∴∁U(A∩B)={3,5,8}故选A.也可用摩根律:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)故选:A.【点评】本题考查集合的基本运算,较简单. 2.(5分)已知=2+i,则复数z=( )A.﹣1+3i B.1﹣3i C.3+i D.3﹣i 【考点】A1:虚数单位i、复数.菁优网版权所有【分析】化简复数直接求解,利用共轭复数可求z.【解答】解:,∴z=1﹣3i故选:B.【点评】求复数,需要对复数化简,本题也可以用待定系数方法求解. 3.(5分)不等式<1的解集为( )A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1} C.{x|﹣1<x<0} D.{x|x<0} 【考点】7E:其他不等式的解法.菁优网版权所有【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值.【解答】解:∵<1,∴|x+1|<|x﹣1|,∴x2+2x+1<x2﹣2x+1.∴x<0.∴不等式的解集为{x|x<0}.故选:D.【点评】本题主要考查解绝对值不等式,属基本题.解绝对值不等式的关键是去绝对值,去绝对值的方法主要有:利用绝对值的意义、讨论和平方. 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为( )A. B.2 C. D. 【考点】KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到a和b的关系,从而推断出a和c的关系,答案可得.【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0,因渐近线与抛物线相切,所以b2﹣4a2=0,即,故选:C.【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题. 5.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 【考点】D1:分类加法计数原理;D2:分步乘法计数原理.菁优网版权所有【专题】5O:排列组合.【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法.故共有345种选法.故选:D.【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理,最关键做到不重不漏,先分类,后分步! 6.(5分)设、、是单位向量,且,则•的最小值为( )A.﹣2 B.﹣2 C.﹣1 D.1﹣ 【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有【专题】16:压轴题.【分析】由题意可得=,故要求的式子即﹣()•+=1﹣cos=1﹣cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值.【解答】解:∵、、是单位向量,,∴,=.∴•=﹣()•+=0﹣()•+1=1﹣cos=1﹣cos≥.故选:D.【点评】考查向量的运算法则;交换律、分配律但注意不满足结合律. 7.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角(如∠A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之.【解答】解:设BC的中点为D,连接A1D、AD、A1B,易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角;并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=,|A1D|=,|A1B|=,由余弦定理,得cosθ==.故选:D.【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理. 8.(5分)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( )A. B. C. D. 【考点】HB:余弦函数的对称性.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先根据函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.【解答】解:∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称.∴∴由此易得.故选:A.【点评】本题主要考查余弦函数的对称性.属基础题. 9.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.【解答】解:设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又∵∴x0+a=1∴y0=0,x0=﹣1∴a=2.故选:B.【点评】本题考查导数的几何意义,常利用它求曲线的切线 10.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( )A.1 B.2 C. D.4 【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD则∠ACQ=∠PBD=60°,在三角形APQ中将PQ表示出来,再研究其最值即可.【解答】解:如图分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD则∠ACQ=∠PDB=60°,,又∵当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故选:C.【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 11.(5分)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,则( )A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 【考点】3I:奇函数、偶函数.菁优网版权所有【专题】16:压轴题.【分析】首先由奇函数性质求f(x)的周期,然后利用此周期推导选择项.【解答】解:∵f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,∴函数f(x)关于点(1,0)及点(﹣1,0)对称,∴f(x)+f(2﹣x)=0,f(x)+f(﹣2﹣x)=0,故有f(2﹣x)=f(﹣2﹣x),函数f(x)是周期T=[2﹣(﹣2)]=4的周期函数.∴f(﹣x﹣1+4)=﹣f(x﹣1+4),f(﹣x+3)=﹣f(x+3),f(x+3)是奇函数.故选:D.【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用,并考查函数周期的求法. 12.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=( )A. B.2 C. D.3 【考点】K4:椭圆的性质.

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