2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 26页 · 405 K

2008年全国统一高考数学试卷理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)函数的定义域为( )A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}2.(5分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( )A. B. C. D. 3.(5分)在△ABC中,=,=.若点D满足=2,则=( )A. B. C. D. 4.(5分)设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a=( )A.2 B.1 C.0 D.﹣1 5.(5分)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( )A.138 B.135 C.95 D.23 6.(5分)若函数y=f(x)的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称,则f(x)=( )A.e2x﹣2 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2 7.(5分)已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a的值为( )A.2 B. C.﹣ D.﹣2 8.(5分)为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 9.(5分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1) 10.(5分)若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则( )A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C. D. 11.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )A. B. C. D. 12.(5分)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )A.96 B.84 C.60 D.48 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为 .14.(5分)已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .15.(5分)在△ABC中,AB=BC,.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= .16.(5分)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C﹣AB﹣D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于 . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB﹣bcosA=c.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.18.(12分)四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,,AB=AC.(Ⅰ)证明:AD⊥CE;(Ⅱ)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小.19.(12分)已知函数f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(x)在区间(0,)上是减函数,求实数a的取值范围.20.(12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.21.(12分)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||、||、||成等差数列,且与同向.(Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.22.(12分)设函数f(x)=x﹣xlnx.数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).(Ⅰ)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;(Ⅱ)证明:an<an+1<1;(Ⅲ)设b∈(a1,1),整数.证明:ak+1>b. 2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)函数的定义域为( )A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}【考点】33:函数的定义域及其求法.菁优网版权所有【分析】偶次开方的被开方数一定非负.x(x﹣1)≥0,x≥0,解关于x的不等式组,即为函数的定义域.【解答】解:由x(x﹣1)≥0,得x≥1,或x≤0.又因为x≥0,所以x≥1,或x=0;所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选:C.【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现,通常注意偶次开方一定非负,分式中分母不能为0,对数函数的真数一定要大于0,指数和对数的底数大于0且不等于1.另外还要注意正切函数的定义域. 2.(5分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( )A. B. C. D. 【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有【专题】16:压轴题;31:数形结合.【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,汽车的行驶路程s看作时间t的函数,我们可以根据实际分析函数值S(路程)与自变量t(时间)之间变化趋势,分析四个答案即可得到结论.【解答】解:由汽车经过启动后的加速行驶阶段,路程随时间上升的速度越来越快,故图象的前边部分为凹升的形状;在汽车的匀速行驶阶段,路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状;在汽车减速行驶之后停车阶段,路程随时间上升的速度越来越慢,故图象的前边部分为凸升的形状;分析四个答案中的图象,只有A答案满足要求,故选:A.【点评】从左向右看图象,如果图象是凸起上升的,表明相应的量增长速度越来越慢;如果图象是凹陷上升的,表明相应的量增长速度越来越快;如果图象是直线上升的,表明相应的量增长速度保持不变;如果图象是水平直线,表明相应的量保持不变,即不增长也不降低;如果图象是凸起下降的,表明相应的量降低速度越来越快;如果图象是凹陷下降的,表明相应的量降低速度越来越慢;如果图象是直线下降的,表明相应的量降低速度保持不变. 3.(5分)在△ABC中,=,=.若点D满足=2,则=( )A. B. C. D. 【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求.本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手.【解答】解:∵由,∴,∴.故选:A.【点评】用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的 4.(5分)设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a=( )A.2 B.1 C.0 D.﹣1 【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.菁优网版权所有【分析】注意到a+bi(a,b∈R)为正实数的充要条件是a>0,b=0【解答】解:(a+i)2i=(a2+2ai﹣1)i=﹣2a+(a2﹣1)i>0,a=﹣1.故选D.【点评】本题的计算中,要注意到相应变量的范围. 5.(5分)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( )A.138 B.135 C.95 D.23 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解.【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6,∴d=3,a1=﹣4,∴S10=10a1+=95.故选:C.【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式. 6.(5分)若函数y=f(x)的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称,则f(x)=( )A.e2x﹣2 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由函数y=f(x)的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数,故只要求出函数y=f(x)的反函数即可,欲求原函数的反函数,即从原函数y=ln中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.【解答】解:∵,∴,∴x=(ey﹣1)2=e2y﹣2,改写为:y=e2x﹣2∴答案为A.【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法. 7.(5分)已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a的值为( )A.2 B. C.﹣ D.﹣2 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】53:导数的综合应用.【分析】求出函数的导数,切线的斜率,由两直线垂直的条件,即可得到a的值.【解答】解:∵y=,∴y′==,∴曲线y=在点(3,2)处的切线的斜率k=﹣,∵曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1,即a=﹣2.故选:D.【点评】本题考查导数的几何意义的求法,考查导数的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线垂直的性质的灵活运用. 8.(5分)为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案.【解答】解:∵,只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象.故选:A.【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题. 9.(5分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1) 【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.菁优网版权所有【专题】16:压轴题.【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f(x)异号,然后由奇函数定义求出f(﹣1)=﹣f(1)=0,最后结合f(x)的单调性解出答案.【解答】解:由奇函数f(x)可知,即x与f(x)异号,而f(1)=0,则f(﹣1)=﹣f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数,当0<x<1时,f(x)<f(1)=0,得<0,满足;当x>1时,f(x)>f(1)=0,得>0,不满足,舍去;当﹣1<x<0时,f(x)>f(﹣1)=0,得<0,满足;当x<﹣1时,f(x)<f(﹣1)=0,得>0,不满

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