2016年山东高考文科数学真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，则=（A） （B） （C） （D）（2）若复数，其中i为虚数单位，则=（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140（4）若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离（8）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（A）（B）（C）（D）(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=—f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)=（A）-2（B）-1（C）0（D）2（10）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是学科&网（A） （B） （C） （D）第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．（12）观察下列等式：；；；；……照此规律，_________．（13）已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．（14）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．（15）已知函数f(x)=其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分（16）（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：=1\*GB3①若，则奖励玩具一个；学科&网=2\*GB3②若，则奖励水杯一个；=3\*GB3③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（=1\*ROMANI）求小亮获得玩具的概率；（=2\*ROMANII）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.（17）（本小题满分12分）设.（=1\*ROMANI）求得单调递增区间；（=2\*ROMANII）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.（=1\*ROMANI）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；（=2\*ROMANII）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.（19）（本小题满分12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（=1\*ROMANI）求数列的通项公式；学科&网（=2\*ROMANII）令.求数列的前n项和.(20)(本小题满分13分)设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.(21)(本小题满分14分)已知椭圆C:QUOTE（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2QUOTE.（=1\*ROMANI）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明QUOTE为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）第I卷（共50分）一、选择题（1）【答案】A（2）【答案】B（3）【答案】D（4）【答案】C（5）【答案】C（6）【答案】A（7）【答案】B（8）【答案】C(9)【答案】D（10）【答案】A第II卷（共100分）二、填空题（11）【答案】（12）【答案】（13）【答案】（14）【答案】（15）【答案】三、解答题：本大题共6小题，共75分（16）【答案】（）.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】试题分析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间与点集一一对应.得到基本事件总数为（）事件包含的基本事件共有个，即计算即得.（）记“”为事件，“”为事件.知事件包含的基本事件共有个，得到事件包含的基本事件共有个，得到比较即知.试题解析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集一一对应.因为中元素个数是所以基本事件总数为（）记“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即所以，即小亮获得玩具的概率为.（）记“”为事件，“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即所以，则事件包含的基本事件共有个，即所以，因为所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.考点：古典概型（17）【答案】（）的单调递增区间是（或）（）【解析】试题分析：（）化简得由即得写出的单调递增区间（）由平移后得进一步可得试题解析：（）由由得所以，的单调递增区间是（或）（）由（）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即所以考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.（18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ））根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.试题解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。考点：1.平行关系；2.垂直关系.（19）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，解得，得到。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用“错位相减法”即得试题解析：（Ⅰ）由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即，所以，以上两式两边相减得。所以考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.(20)【答案】(Ⅰ)当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)求导数可得，从而，讨论当时，当时的两种情况即得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.试题解析：(Ⅰ)由可得，则，当时，时，，函数单调递增；当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.所以当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.①当时，，单调递减.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在x=1处取得极小值，不合题意.②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，可得当当时，，时，，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意.③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.④当时，即，当时，，单调递增,当时，，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.(21)【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB的斜率的最小值为.【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得.(Ⅱ)(i)设，由M(0,m)，可得得到直线PM的斜率，直线QM的斜率.证得.(ii)设，直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=-3kx+m.联立，整理得.应用一元二次方程根与系数的关系得到，，得到应用基本不等式即得.试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)(i)设，由M(0,m)，可得所以直线PM的斜率，直线QM的斜率.此时，所以为定值-3.(ii)设，直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=-3kx+m.联立，整理得.由可得，所以，同理.所以，，所以由，可知k>0，所以，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB的斜率的最小值为.考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.