2015年浙江省高考数学【理】(含解析版)

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2015年浙江省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=( ) A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2] 2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A.8cm3B.12cm3C.D. 3.(5分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0 4.(5分)(2015•浙江)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0 5.(5分)(2015•浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( ) A.B.C.D. 6.(5分)(2015•浙江)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数( )命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立 7.(5分)(2015•浙江)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( ) A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1| 8.(5分)(2015•浙江)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则( ) A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(6分)(2015•浙江)双曲线=1的焦距是 ,渐近线方程是 . 10.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))= ,f(x)的最小值是 . 11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.(4分)(2015•浙江)若a=log43,则2a+2﹣a= . 13.(4分)(2015•浙江)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 . 14.(4分)(2015•浙江)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 . 15.(6分)(2015•浙江)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,,则x0= ,y0= ,|= . 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(14分)(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值. 17.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值. 18.(15分)(2015•浙江)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值. 19.(15分)(2015•浙江)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 20.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2(n∈N*)(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明(n∈N*). 2015年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1.(5分)考点:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.解答:解:由P中不等式变形得:x(x﹣2)≥0,解得:x≤0或x≥2,即P=(﹣∞,0]∪[2,+∞),∴∁RP=(0,2),∵Q=(1,2],∴(∁RP)∩Q=(1,2),故选:C.点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.(5分)考点:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离.分析:判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.解答:解:由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,所求几何体的体积为:23+×2×2×2=.故选:C.点评:本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力. 3.(5分)考点:等差数列与等比数列的综合.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号.解答:解:设等差数列{an}的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:.∵d≠0,∴,∴,=<0.故选:B.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题.4.(5分)考点:命题的否定.菁优网版权所有专题:简易逻辑.分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0,故选:D.点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 5.(5分)考点:直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.解答:解:如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=﹣1,过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE于E,交y轴于M,由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE,则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1,|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1,则===,故选:A点评:本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键. 6.(5分)考点:复合命题的真假.菁优网版权所有专题:集合;简易逻辑.分析:命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可,③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.解答:解:命题①:对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>card(A∩B),故“d(A,B)>0”成立,若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立,命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C),∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card(A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)]≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,故选:A点评:本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题. 7.(5分)考点:函数解析式的求解及常用方法.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.解答:解:A.取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0;取x=,则sin2x=0,∴f(0)=1;∴f(0)=0,和1,不符合函数的定义;∴不存在函数f(x),对任意x∈R都有f(sin2x)=sinx;B.取x=0,则f(0)=0;取x=π,则f(0)=π2+π;∴f(0)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;C.取x=1,则f(2)=2,取x=﹣1,则f(2)=0;这样f(2)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;D.令|x+1|=t,t≥0,则f(t2﹣1)=t;令t2﹣1=x,则t=;∴;即存在函数f(x)=,对任意x∈R,都有f(x2+2x)=|x+1|;∴该选项正确.故选:D.点评:本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难. 8.(5分)考点:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有专题:创新题型;空间角.分析:解:画出图形,分AC=BC,AC≠BC两种情况讨论即可.解答:解:①当AC=BC时,∠A′DB=α;②当AC≠BC时,如图,点A′投影在AE上,α=∠A′OE,连结AA′,易得∠ADA′<∠AOA′,∴∠A′DB>∠A′OE,即∠A′DB>α综上所述,∠A′DB≥α,故选:B.点评:本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题. 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(6分)考点:双曲线的简单性质.菁优网版权所有专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程.解答:解:双曲线=1中,a=,b=1,c=,∴焦距是2c=2,渐近线方程是y=±x.故答案为:2;y=±x.点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.10.(6分)考点:函数的值.菁优网版权所有专题:计算题;函数的性质及应用.分析:根据已知函数可先求f(﹣3)=1,然后代入可求f(f(﹣3));由于x≥1时,f(x)=,当x<1时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值范围,即可求解解答:解:∵f(x)=,∴f(﹣3)=lg10=1,则f(f(﹣3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)=,即最小值,当x<1时,x2+1≥1,(x)=lg(x2+1)≥0最小值0,故f(x)的最小值是.故答案为:0;.点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.11.(6分)考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.菁优网版权所有专题:三角

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