北京市2024-2025学年高三上学期入学定位考试数学试题参考答案

2024年定位考试数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C（2）D（3）B（4）A（5）D（6）B（7）D（8）C（9）C（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①③④说明：12,13,14题都是第一个空3分，第二个2分；15题对一个给1分，对两个给3分，全对给5分，如果有错的，则给0分。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）连接，在中，因为分别为，的中点，所以……….2分又平面，平面所以平面．……….4分（Ⅱ）因为直三棱柱所以平面，所以， ……….5分又为直角，所以，……….6分又所以平面，……….7分所以，由（Ⅰ），所以.……….8分（Ⅲ）建立空间直角坐标系，……….9分则，，，．因此，．设平面的法向量为，则即……….11分令，于是．……….12分设直线与平面所成角为．所以． ……….14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理，……….3分所以．……….4分代入得所以.……….5分（Ⅱ）选择条件①：．……….6分因为，所以.……….8分因为为锐角，所以……….9分由余弦定理，……….11分代入得到所以.解得，（舍）.……….12分所以的周长为.……….13分选择条件②：.……….6分因为，所以,……….7分所以，以下同选择①.选择条件③：．……….6分因为，所以.……….8分因为为锐角，所以……….9分由余弦定理，……….11分代入得到所以,……….12分所以的周长为.……….13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设事件为“某一天此款甜品销售量不超过个”，……….1分所以．……….4分（Ⅱ）.……….5分，，，，所以的分布列为……….9分所以……….11分（Ⅲ）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.因为以前此款甜品的日销售量大于70个的频率为，现在30天中有20天销售量大于70个，其频率远大于改进前,所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化．……….13分(也可认为无法确定有无变化，30天中有20天销售量大于70个是随机事件，按之前频率估计计算30天中有20天销售量大于70个的概率比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化)（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，所以的方程为．……….5分（Ⅱ）法一：设，所以……….6分所以，……….7分直线的方程为．……….8分令，得……….9分又，……….10分直线的方程为．……….11分令，得，……….12分所以．所以，……….14分所以，所以，所以，.……….15分法二：由题意直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为．……….6分令，得……….7分由得． ……….8分易得．设，则，……….9分，所以 ……….10分直线的方程为．……….11分令，得，……….12分所以． ……….13分所以，.……….14分所以，.……….15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，所以．……….2分所以．……….3分所以直线的倾斜角为.……….4分（Ⅱ）因为．……….5分所以，……….6分所以直线的方程为，……….7分 令.……….8分法一：当时，，所以.当时，，所以，……….9分所以对且成立，即除切点之外，曲线在直线的上方.……….10分法二：因为，所以时，．时，，，与的变化情况如下表：↘↗……….9分所以，函数在处取得最小值，所以对且成立，即除切点之外，曲线在直线的上方.……….10分（Ⅲ）因为函数在上单调递增，所以对成立……….11分令，……….12分所以，……….13分所以对成立，所以在上单调递增，……….14分所以只需，所以.所以的取值范围为.……….15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），，，,.……….4分（Ⅱ）假设数列单调递增，因为，所以，所以所以所以，所以，矛盾.所以假设不成立，所以数列不是单调递增数列.……….9分（Ⅲ）若，因为，，所以因为，又，所以，……….11分所以，，所以，因为，所以所以，即因为，且所以所以所以即，所以，又所以，此时，矛盾所以不存在，使得.……….15分