（在此卷上答题无效）2023～2024学年福州市高三年级4月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ìü1已知集合，则1.Mx=íý0ðRM=îþx+1„A.xx<-1B.xx-1C.xx>-1D.xx-1{}{„}{}{…}ab2.设ab,ÎR，则“ab<0”是“0”的abA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.等轴双曲线经过点(3,-1)，则其焦点到渐近线的距离为A．22B．2C．4D．2π14.若sin()α+=，则sin2α=44151577A．-B．C．-D．8888z5.已知非零复数z满足zz-1i=-，则=zA．1B．-1C．iD．-i6.(1-+xx)54(12)的展开式中x2的系数为A．-14B．-6C．34D．747.数列{an}共有5项，前三项成等差数列，且公差为d，后三项成等比数列，且公比为q.若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则dq-=A．1B．2C．3D．48.四棱锥E-ABCD的顶点均在球O的球面上，底面ABCD为矩形，平面BEC^平面ABCD，BC=5，CD==CE1，BE=2，则O到平面ADE的距离为1125A．B．C．D．3448二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是甲乙87909691869086928795A．甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B．甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C．甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D．甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数æππöæöπ10.已知函数f(xx)=+sin2(ϕ)满足fç+x÷=-fxç÷，且ff()(>π)，则è33øèø211A．sinϕ=B．sinϕ=-2213πC．y=fx()的图象关于点(π,0)对称D．fx()在区间(,π)单调递减122x--xxx11.已知函数f(x)=ax(e+e)-+ee恰有三个零点x1,,xx23，且x1<10D．axa3+>1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量a=-(3,4)在向量b=-(2,1)上的投影向量为λb，则λ等于__________.π13.倾斜角为的直线经过抛物线C：yx2=12的焦点F，且与C交于A，B两点，Q为线段3AB的中点，P为C上一点，则PF+PQ的最小值为__________.D114.如图，六面体ABCDA1CD11的一个面ABCD是边长为2的正方C1形，AA1,,CC11DD均垂直于平面ABCD，且AA1=1，CC1=2，则该六面体的体积等于__________，表面积等于_________.A1DCAB四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}a满足a=2，a=+an2（n2）.n1nn-1…（1）求数列{}an的通项公式；1（2）记数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn<1.an16.（15分）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布N(0,0.2)2，规定XÎ-(0.2,0.2)的零件为优等品，XÎ-(0.6,0.6)的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）.（附：若随机变量ξ~N(µσ,)2，则P(µ-σ<ξ<µσ+=)0.6827，P(µ-2σ<ξ<µσ+=2)0.9545，P(µ-3σ<ξ<µσ+=3)0.9973）17.（15分）如图，以正方形ABCD的边AB所在直线为旋转轴，其余三AF边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF-BCE．设P是CE»DH上的一点，G，H分别为线段AP，EF的中点.G（1）证明：GH∥平面BCE；BEC（2）若BP^AE，求平面BPD与平面BPA夹角的余弦值.P18.（17分）xy22点P是椭圆E：+=1(ab>>0)上（左、右端点除外）的一个动点，Fc(-,0)，Fc(,0)ab2212分别是E的左、右焦点．a2||PF（1）设点P到直线lx:=的距离为d，证明2为定值，并求出这个定值；cd（2）△PFF12的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G，I，已知直线IG垂直于x轴．（ⅰ）求椭圆E的离心率；（ⅱ）若椭圆E的长轴长为6，求△PFF12被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围．19.（17分）记集合L=l(x)=kx+b(xÎR)|xÎD,f(x)l(x),且$xÎ=D,f(x)lx()，集合f(x),xDÎ{„000}T=l(x)=kx+b(xÎR)|xÎD,f(x)l(x),且$xÎ=D,f(x)lx().若l()xLÎ，f(x),xDÎ{…000}f(x),xDÎ则称直线y=lx()为函数fx()在D上的“最佳上界线”；若l()xTÎf(x),xDÎ，则称直线y=lx()为函数fx()在D上的“最佳下界线”.2（1）已知函数f()x=-+xx，l0(x)1=+kx.若l0()xLÎf(xx),ÎR，求k的值；（2）已知gx()=+e1x.（ⅰ）证明：直线y=lx()是曲线y=gx()的一条切线的充要条件是直线y=lx()是函数gx()在R上的“最佳下界线”；（ⅱ）若，直接写出集合中元素的个数（无需证明）h(xx)=-ln(1)LTh(x),xÎ(1,+¥Î)Ig(xx),R.