江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数(其中为虚数单位,).若是纯虚数,则（）A.-4 B.-1 C.1 D.42.直线的倾斜角为()A. B. C. D.3.有6名男教师和5名女教师,从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种4.已知等差数列的前项和为,且,则是中的()A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第32项5.在中,已知,则“”是“”成立的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要6.已知双曲线,直线.双曲线上的点到直线的距离最小,则点的横坐标为()A. B. C. D.7.若命题:“,使得”为假命题,则a,b的大小关系为（）A. B. C. D.8.设实数满足,则的最小值为（）A. B. C. D.-1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为()A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数10.已知不等式对任意恒成立,其中是整数,则的取值可以为()A.-4 B.-2 C.0 D.811.直线与抛物线相交于两点,过两点分别作该抛物线的切线,与直线均交于点,则下列选项正确的是()A.直线过定点 B.两点的纵坐标之和的最小值为2pC.存在某一条直线,使得为直角D.设点在直线上的射影为,则直线FH斜率的取值范围是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合,则___________.13.设若,则___________.14.在长方体中,分别是棱的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在四棱锥中,已知棱AB,AD,AP两两垂直,长度分别为1,2,2,若,且向量与夹角的余弦值为.(1)求实数的值;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.16.（15分）已知向量.设.(1)求函数的单调递增区间;(2)在中,若的平分线交BC于点,求AD长.17.(15分)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆的离心率为分别是椭圆的左、右焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于A,B两点,直线与交于D,E两点,且的周长是.(1)求椭圆的方程;(2)当时,求的面积.18.(17分)设函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若,试判断函数在区间内的极值点的个数,并说明理由;(3)求证:对任意的正数,都存在实数,满足:对任意的.19.(17分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B、C两类,抽到较易的类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有字母,3张写有字母,2张写有字母,顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片,若抽到写有的卡片,则再抽1次,直至取到写有或卡片为止.求该顾客取到写有卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）,最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不摘前条灯谜,自第条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯谜,否则就摘最后一条.设,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.①若,求;②当趋向于无穷大时,从理论的角度,求的最大值及取最大值时的值.(取)2023-2024学年度第二学期高三年级模拟考试数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A 2.D 3. 4. 5. 6. 7. 8.B二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9. 10. 11.三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.12. 13.6 14.五,四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)解:依题意,以为坐标原点,AB,AD,AP分别为轴建立空间直角坐标系则,因为,所以,……………………………………2分(1)从而,则,……………………………………4分解得;……………………………………6分(2)易得,设平面PCD的法向量,则,且,即,且,所以,不妨取,则平面PCD的一个法向量,…………………………………………9分又易得,故,………………………………………………12分所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.………………………………………………13分16.(15分)解:(1)由……………………………………………………………………………………4分令,则,所以函数的单调递增区间为.…………………………………………7分（2）因,因为,所以,即,故;…………………………………………………………9分由余弦定理得,即,所以(负舍),……………………………………………………………………………11分所以,即,所以.………………………………………………………………………………………15分17.(15分)解:(1)由，知，所以，……………………………2分因为的周长是,所以,……………………………4分所以,故,所以椭圆的方程为.…………………………………………………………6分(2)分析知直线的斜率存在,且不为0,设的方程为:,与椭圆方程联立:,得,……………………………8分同理:,……………………………………………………10分所以,解得,…………………………………………12分所以,直线的方程为,所以,故.……………………………………………15分18.(17分)解:(1)当时,,令,列表分析1—0+单调递减单调递增故的单调递减区间为,单调递增区间为.………………………………4分(2),其中,令,分析的零点情况.,令,列表分析—0+单调递减单调递增...........6分因为,所以,即,而,因此在有一个零点,在内有一个极值点;当时,在内有一个极值点.……………………………………10分（3）猜想：恒成立.……………………………………………11分证:由(2)得在上单调递增,且.因为当时,,所以.故在上存在唯一的零点,设为.由-0+单调递减单调递增知,.…………………………………………13分又,而时,,所以.即.所以对任意的正数,存在,使对任意的,使.……………………15分补充证明(*):令,所以在上单调递增.所以时,,即.补充证明(**)令,所以在上单调递减.所以时,,即.……………………………………………………17分19.(17分)解：(1)该顾客第一次取到写有卡片的概率为,……………………………………..1分该顾客第二次取到写有卡片的概率,………………………………………………..2分该顾客第三次取到写有卡片的概率,……………………………………………3分该顾客第四次取到写有卡片的概率,………………………………………4分该顾客取到写有卡片的概率为；……………………………………5分(2)①这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序,有种情况,………………………………7分要摘到那条最适合灯谜,有以下两种情况:（i）最适合灯谜是第3个,其它的随意在哪个位置,有种情况;（ii）最适合灯谜是最后1个,第二适合灯谜是第1个或第2个,其它的随意在哪个位置,有种情况,………………………………………………………………………………………………………………9分故所求概率为;……………………………………………………………………………………10分②记事件表示最适合灯谜被摘到,事件表示最适合灯谜排在第个,则,由全概率公式知:,当时,最适合灯谜在前条中,不会被摘到,此时；当时,最适合灯谜被摘到,当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时,此时,所以,………………………………………………………14分令,则,由,得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以当时,取得最大值,从而的最大值为,此时的值为.…………………………………………………………………17分