2024 届湖北省武汉市高中毕业生四月调研考试数学答案

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号1234567891011答案DBCADBCBBDACDBCD填空题：125312.1213.1314.−108解答题：15.（13分）解：（1）由题意，coscosCA=，得：3sincossincoscossinBCACAC−=.sin3sinsinCBA−所以3sincossincoscossinsin()BCACACAC=+=+.又sin()sin()sinACBB+=−=，且sin0B，所以cosC=1.3由sin0C，故sinCC=1−cos2=22.…………6分3（2）S==1absinC52，所以ab=15.2由余弦定理，cababCab22222=+−=+−2cos10.又cabab2222=−=+−6()6()180.联立得：ab22+=34，c=26.ababab+=++=2228.所以ABC的周长为abc++=8+26.…………13分16.（15分）解：（1）a=−1时，f(x)=lnx+x+x2，fxx'()12=++1.xf'(1)4=，f(1)2=.所求切线方程为yx=4(−1)+2，整理得：yx=−42.…………5分2（2）fxax'()2=−+=121xax−+.xx因为x0，故a0时，fx'()0，fx()在(0,)+上递增.当a0时，对于yxax=−+212，=−a28.若022a，则0，此时fx'()0，fx()在(0,+)上递增.22aa−8若a22，令210xax−+=，得x=0.4aa−−28aa+−280x时，fx'()0，fx()递增；x时，fx'()0，fx()递增；44a−a22−88a+a−x时，fx'()0，fx()递减；44综上所述：a22时，fx()在(0,+)上递增；aa−−28a−a22−88a+a−a22时，fx()在(0,)上递增，在(,)上递减，4442在(,)aa+−8+上递增，…………15分4{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}17.（15分）解：22（1）连接DA,EA，DA1=1，AA1=2，D=A1A60，DE=+−=12212cos603.222满足DADAAA+=11，所以DAD⊥A1，即DAA⊥B.平面ABB11A⊥平面ABC，且交线为AB，由DAA⊥B，得DA⊥平面ABC.由BC平面ABC，得DAB⊥C，又DEB⊥C，且DADED=，所以BC⊥平面DAE.由AE平面DAE，得BC⊥AE.设BEt==CE,3t，有BAtACt2222−=−(3)，解得：t=1.222所以BC=4，满足BA+=ACBC，即AC⊥AB，所以AC⊥平面ABB11A.由BB1平面ABB11A，得ACB⊥B1.…………8分（2）以A为坐标原点，ABAC,,AD为x,,yz轴的正方向建立空间直角坐标系.D(0,0,3)，E(,3,0)3，A(1−,0,3)，221DA=−(1,0,0)，EA=−−(,,3)53.1122设平面DEA1的法向量nxyz=(,,)，−=x0nDA=10由，即3，nEA=0−5x−y+30z=122取z=1，得到平面PBD的一个法向量n=(0,2,1).又BB11=AA=(−1,0,3)，设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为，||nBB则sin|cos,|====nBB1315.110||nBB||15415所以直线BB与平面DEA所成角的正弦值为.…………15分111018.（17分）解：（1）设A(x1122,),yB(,),xyP(,)xyPP.22由yx=，得yx'2=，所以l1方程为：y=2x1(x−x1)+y1，整理得：y=−2x11xx.2同理，l2方程为：yx=−xx222.xx+联立得：x=12，yxx=.P2P12设直线AB的方程为y=k(x−1)+2，与抛物线方程联立得：x2−kx+k−20=故x+=xk，xx=−k2，所以x=k，yk=−2，有yx=−22.1212P2PPP所以点P在定直线yx=−22上.…………6分{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}xx（2）在ll,的方程中，令y=0，得MN(,0),(,0)12，1222所以PMN面积SMNyxxx==−=11|||||()|2x.24P12122222故()()32xxxx1212−=，带入可得：(48)(44)32kkkk−+−+=.[(2)8][(2)4]0kk−+−−=22，解得：k=0或k=4.所以点P的坐标为(0,2−)或(2,2).…………11分1x111（3）抛物线焦点F(0,)，由M(,0)得直线MF斜率kMF=−=−，422xk1MP所以MFM⊥P，同理NFN⊥P，所以PF是外接圆的直径.若点T也在该圆上，则TFT⊥P.74由k=，得直线TP的方程为：yx=−−+(1)2.TF47又点P在定直线yx=−22上，1614联立两直线方程，解得点P的坐标为(,).…………17分9919.（17分）解：（1）PXkpp()(1)==−k−1，nkpppppnp(1)[12(1)3(1)...(1)]−=+−+−++−kn−−121，k=121n−记Sppnpn=+−+−++−12(1)3(1)...(1)，21nn−则(1)(1)2(1)...−=−+−++−−+−pSppnpnpn(1)(1)(1)，21nn−相减得：pSpppnpn=1(1)(1)...(1)(1)+−+−++−−−1−(1−pp)nn1−(1−)=−n(1−p)nn=−n(1−p)1−−(1pp)n1(1)−−pn1由题意：E()lim()lim[(1)XpSnp==−−=n].…………5分nn→→pp2（2）（i）EpEpppE222=−+++−+(1)(1)2(1)(2).1+p解得：E=.…………8分2p2（ii）期待在En−1次试验后，首次出现连续(1)n−次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为(1)En−1+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是En，此时总的试验次数为(1)EEnn−1++.即En=p(En−−11+1)+(1−p)(En+1+En).整理得：EE=+1(1)，即EE+=+111().nnp−1nn11−−ppp−1所以EE+1=1()+1.n11−−pppn−11由（1）知E=1，1p1−pn代入得：E=.…………17分n(1−pp)n{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}