黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2024届高三下学期第一次模拟考试 数学 Word版含答案

高三学年考试数学试题考试时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合,,则（    ）A．B.C. D．2.5名应届毕业生报考3所不同院校，每人报考且仅报考1所院校，则不同的报名方法种数是( )A. B. C. D.3.一份新高考数学试卷中有8道单项选择题，小李对其中5道题有思路，3道题完全没有思路。有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小李从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（       ）A． B． C． D．4.已知为虚数单位，复数且满足，求点到直线距离的最大值为（）A.0 B.C. D.5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：，）（）A．2B．3 C．4 D．56.已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（    ）A.B.C.D.7.已知=是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式+恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5,这组数据的下四分位数为9B.若随机变量100,，且20，则16C.若随机变量,，且，则D.对一组样本数据,,,进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上已知为函数的一个对称中心，则（）A.B.函数为奇函数C.曲线关于对称D.函数在单调递增11.如图，已知正方体的棱长为，为底面内(包括边界)的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B．存在点，使得C.若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为D.若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，则_____ 13.已知,则(用数字作答)14.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13分)设，若数列的前项和为，且是与的等差中项(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．16.(15分)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题。第二轮答题从类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止。类题每答对一道得10分，类题每答对一道得20分，答错不扣分。以两轮总分和决定优胜者。总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖。某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响.(Ⅰ)求小张同学被终止比赛的概率；(Ⅱ)现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；(Ⅲ)求小张同学获得三等奖的概率. 17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求平面与平面夹角的余弦值.(Ⅲ)设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由18.(17分)已知双曲线的左、右焦点分别为,,双曲线的虚轴长为，有一条渐近线方程为,如图，点是双曲线上位于第一象限内的点，过点作直线与双曲线的右支交于另外一点，连接并延长交双曲线左支于点，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.(Ⅰ)求双曲线的标准方程；(Ⅱ)求证：直线与直线的斜率之积为定值；(Ⅲ)求的最小值.19.(17分)设,(Ⅰ)当时，求函数的最小值；(Ⅱ)当时,求证:;(Ⅲ)求证:数学试题参考答案考试时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BACDCBDA二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.题号91011答案BCBCDABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.13.14.三、解答题15（13分）【解析】（1），由于是2与的等差中项；所以①，.....1分当时，解得；.......2分当时，②，①②得：，整理得，.....3分所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），所以；................5分（2）若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，或......6分故①，②，......8分①②得：；.......10分整理得.......13分16、（15分）解析：小张同学被终止比赛的概率为.......3分......8分分布列如下X406080100P.........10分..........15分17、（15分）（1）因为平面，又平面，则，又，且，，平面，故平面；,.....5分（2）过点作的垂线交于点，因为平面，且，平面，所以，，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，..6分则，因为为的中点，则，所以，又，所以，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，....8分又因为平面的法向量为，所以，.....10分（3）直线不在平面内，....11分因为点在上，且，又，故，则，由（2）可知，平面的法向量为，所以，所以直线不在平面内．....15分（第三问，通过共面向量基本定理且有一个公共点的证明方法，同样给分）（17分）解析(1)因为虚轴长为2,即:2b=2,所以b=1.又因为有一条渐近线方程为，所以所以双曲线C的标准方程为....3’(2)由题意，点A与点P关于原点对称.设,则由题意可知直线的斜率存在，设直线的斜率为,记，又直线为∠F₁PF₂的平分线，则...6’因为，所以所以|PF1|=−2+x02+y02=−2+x02+x023−1=233x0−3,同理|PF2|=233x0+3....9’又，，代入得,，化简得所以，即直线OA与直线m的斜率之积为定值....11’(3)由(2)可知x₀=3ky₀.又x₀>0,y₀>0,所以k>0,将x₀=3ky₀代入x023−y02=1,x0>3得,x0=3k3k2−1,y0=13k2−1,所以A3k3k2−113k2−1,P(−3k2k2−1,−13k2−1),k>33.设直线m的方程为y=kx+n,将P−3k3k2−1−13k2−1代入得n=3k2−1,所以直线m的方程为y=kx+3k2−1,k>33.由点到直线距离公式得，...13’又直线AB的斜率为−1k,设直线AB的方程为x=−ky+t,将A3k3k2−113k2−1代入得t=4k3k2−1,所以直线AB的方程为x=−ky+4k3k2−1.将其与x23−y2=1x0)联立得k²−3y²−8k23k2−1y+7k2+33k2−1=0。设Ax₁y₁,Bx₂y₂,则y₁+y₂=8k2k2−33k2−1,y1y2=7k2+3k2−33k2−1....15’由y₁y₂<0得k2∈133,所以|AB|=1+k2|y1−y2|=1+k2y1+y22−4y1y2=6k2+1323−k23k2−1.所以SAPBSAPD=|AB||AD|=3k2+123−k23k2−1≥3k2+12k2+12=3,当且仅当3−k²=3k²−1,即k²=1时等号成立，所以当且仅当k=1时,SAPBSAPD的最小值为3....17’19.（17分）解析(1)因为f(x)的定义域为R,且f−x=a−x²+cos−x−1=ax²+cosx−1=f(x)，所以f(x)为偶函数,下面取x≥0。当a=1π时,fx=x2π+cosx−1,则f'x=2xπ−sinx,当x>π2时,f'x=2xπ−sinx>1−sinx≥0,可知f(x)在π2+∞上单调递增，0≤x≤π2时，令gx=f'x,当则g'x=2π−cosx,可知g'x在0π2上单调递增.因为0<2π<1,则∃x0∈0π2,使得cosx0=2π.当x∈0x₀时,g'x<0;当x∈x0π2时,g'x>0;所以g(x)在[0,x₀)上单调递减,在x0π2上单调递增，且g0=gπ2=0,则f'x=gx≤0在0π2内恒成立，可知f(x)在0π2上单调递减.综上所述,f(x)在0π2上单调递减，在π2+∞上单调递增，所以f(x)在[0,+∞)上的最小值为fπ2=π4−1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在R内的最小值为π4−1....5’(2)由(1)可知f(x)是定义在R上的偶函数,下面取x≥0,可知f'x=2ax−sinx,令φx=f'x=2ax−sinx.因为a≥12,则ϕ'x=2a−cosx≥1−cosx≥0,则φ(x)在[0+∞上单调递增，可得φx≥φ0=0,即f'x≥0在0+∞上恒成立，可知f(x)在[0+∞上单调递增，所以f(x)在0+∞上的最小值为f0=0,结合偶函数性质可知fx≥0....11’(3)由(2)可得,当a=12时,fx=12x2+cosx-1≥0,当且仅当x=0时,等号成立,即cosx≥1−12x2.令x=1n,n≥2,n∈N∗,则cos1n>1−12n2,当n≥2时,cos1n>1−12n2=1−24n2>1−24n2−1=1−12n−1−12n+1,即cos1n>1−12n−1−12n+1,则cos12>1−13−15,cos13>1−15−17,⋯,cos1n>1−12n−1−12n+1,相加可得cos12+cos13+⋯+cos1n>n−1−13−12n+1=n−43+12n+1.因为n≥2,则12n+1>0,所以即，...17’