2024届高三第三次模拟考试文科数学参考答案及评分标准

2024届高三第三次模拟考试文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112BDBABACDDCCA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（或其它合理答案） 14． 15． 16．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）解：（1）设角，，所对的边分别为，，，由余弦定理，将，代入， ………………2分得，化简得，解得或（舍）； ………………6分（2）因为， ………………9分所以． ………………12分18．（12分）解：（1）由题易知组距为，所以，解得， ………………2分设平均数为，则，估计全校学生周平均阅读时间的平均数为小时； ………………6分（2）由频率分布直方图可知不小于小时的分为和两组，频数之比为，这两组被抽取的人数分别为，，记中的人为，，，，中的人为，， ………………8分从这人中随机选出人，则样本空间，共15个基本事件， ………………10分设事件为这2人都来自，，共6个样本点，所以． ………………12分19．（12分）解：（1）由题易知，又，又因为，，平面，所以平面， ………………2分又因为平面，所以，又因为，点为中点，所以， ………………4分又因为，，平面，所以平面； ………………6分（2）由（1）知平面，又平面，所以，所以， ………………8分所以， ………………9分因为，，所以，………………11分所以三棱锥的体积． ………………12分20．（12分）解：（1）由椭圆的定义知，所以，将代入椭圆的方程得，所以，所以椭圆的方程为； ………………4分（2）①当直线与轴重合时，可设，，由相似三角形的性质得，，所以； ………………7分②当直线不与轴重合时，设的方程为，同时设点，的坐标分别为，，由题意，直线不过点和，所以，联立得，由题意知，所以，且，， ………………9分由题意知直线，的斜率存在，则，当时，，同理可得， ………………11分所以，又因为，所以，综上所述，． ………………12分21．（12分）解：（1）由题得，曲线在点处的切线方程为，即， ………………2分令得，此切线交轴于点，所以； ………………4分（2）若为等差数列，设其公差为，则，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，因此最多有两不同的根，即最多3项成等差数列， ………………8分若，，成等差数列，即，由（1）知，所以，又，记函数，则，所以当时，，所以在上单调递增， ……………10分又，又，所以存在，使得，所以存在，使得，即为等差数列此时，数列的项数为3． ………………12分22．（10分）解：（1）将，代入的参数方程得，即的极坐标方程为，， ………………2分将，代入的参数方程得，化简得曲线的极坐标方程为； ………………5分（2）设，，联立直线与曲线的极坐标方程，得，化简为，因为判别式，即， ………………8分又因为，所以，解得，同时，所以，解得，，所以，结合，解得． ………………10分23．（10分）解：（1）时，即解不等式， ………………1分当时，不等式为，解得， ………………2分当时，不等式为，不等式恒成立， ………………3分当时，不等式为，解得， ………………4分综上所述：不等式的解集为； ………………5分（2）即为，=1\*GB3\*MERGEFORMAT①当时，不等式为，即，不等式恒成立， ………………7分=2\*GB3\*MERGEFORMAT②当时，对时，不等式为，此时不等式对不恒成立， ………………9分综上所述：的取值范围为． ………………10分解析：1．【命题意图】涉及集合的表示方法，集合间的基本关系与基本运算，考查学生的逻辑推理能力。【解析】因为，所以，选B．2．【命题意图】涉及复数的表示，四则运算，考查学生的符号意识与运算能力。【解析】，选D．3．【命题意图】考查学生对数的直观感知能力，及对基本初等函数的性质的理解。【解析】，，，，选B．4．【命题意图】考查学生阅读能力，快速获取信息能力，要求学生有直观感知图象，数学抽象的核心素养。【解析】因为函数的定义域为，故排除D，又因为是奇函数，故排除B，令，得，排除C，选A．5．【命题意图】涉及函数的图象与性质考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的考查。【解析】因为与是相关关系，故B选项中的“一定”用词不当，选B．6．【命题意图】考查学生对向量的四则运算，模，数量积的理解，培养学生知识迁移能力，同时提高学生数学思考水平。【解析】设，两边平方得，又，即，；，即，故或，故前者是后者的充分不必要条件，选A．7．【命题意图】涉及三角函数的定义，垂直的两角的三角函数值的数量关系，二倍角公式；培养学生良好的数感、量感。【解析】因为，所以，所以，选C．8．【命题意图】涉及函数与导数的关系，同时和奇偶性结合起来，考查学生对函数的基本性质的理解，同时又需要学生函数的研究方法有深刻认识。【解析】当时，的导函数，令，解得，又因为为奇函数，在对称区间的单调性相同，所以时，单调递增区间为，选D．9．【命题意图】对数列必备知识有一定要求，对等差、等比数列性质的综合性应用较高，考查学生数学运算的核心素养。【解析】因为数列是等差数列，所以，化简得，由等比数列的性质得，解得（舍去1），又，所以，所以，所以，选D．10．【命题意图】本题涉及抛物线、直线的几何性质，借用垂直平分线的思想将系数将目标转化为两线段的和，再利用三角形的基本知识求得结果，有一定的创新性和综合性，考查数学建模、数学运算、直观想象的核心素养。【解析】设的坐标为，关于的对称点是，容易知道，所以，，，由二次函数的性质得，选C．11．【命题意图】涉及空间几何体的结构特点，点线面之间的关系，需要学生有一定空间观念，空间想象能力，考查学生直观想象，数学建模，数学运算核心素养。【解析】当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转时，与自身重合；当直线经过正方体的体对角线时，正方体绕直线旋转时，与自身重合；当直线穿过正方体对棱中点时，正方体绕直线旋转时，与自身重合；其他情况，正方体绕直线旋转时，与自身重合，选C．12．【命题意图】本题涉及三角函数的图象与性质，辅助角公式，诱导公式的综合应用，对学生能力要求较高，兼顾数学知识的综合性与应用性。【解析】方程可化为，因为，所以实数，满足，化简得，不妨设，又因为，即，又，，所以，选A．13．【命题意图】开放性型题目，考查学生对双曲线的性质，培养学生的创新能力。【解析】设双曲线的方程为，因为，所以有，可填．14．【命题意图】涉及圆锥的几何性质，需要学生准确旋转体的侧面展开图，需要学生的空间想象力。【解析】圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则圆锥底面周长为，底面半径为，又圆锥的母线为，所以圆锥的高为，故填．15．【命题意图】本题考查不等关系与不等式，探究两个正实数的平方和与和之间的关系，因为含有参数，需要学生对均值不等式有一定的理解。【解析】，当且仅当“”时，取“=”，故填．16．【命题意图】考查学生对指数函数性质的直观体验，函数的零点，导数的几何应用，考查数形结合的数学思想。【解析】函数大于的零点有且只有一个，即函数与函数在区间上有且只有一个交点，当时，显然没有交点，不符合题意；当时，由指数函数的性质知，只有两曲线相切时符合题意，不妨设切点为，则容易得到且，解得，故填．17．【命题意图】此题背景比较简单，需要学生有一定的分析能力，对正余弦定理有一定的理解，考查学生数学抽象，数学运算等能力。18．【命题意图】此题以频率分布直方图入题，利用频率分布直方图解决统计概率的问题，第二问是经典的古典概型的求解，考查数学建模，数据处理等素养。19．【命题意图】此题以四棱锥为载体，先是考查直线与平面的位置关系，再考查四点共面的向量表达，或者空间几何题的截面问题，考查学生的空间想象，数学运算等能力。20．【命题意图】此题是充分利用导数的几何意义，求取数列的项，是一个融合导数，数列的综合题目，学生要有一定应用意识，创新意识，考查学生数学抽象，数学建模，数学计算等素养。21．【命题意图】此题利用点到焦点，的距离之和的关系，利用对数据处理能力才能快速地入题解决，第二问也需要一定数据处理能力，总体计算量不大，但是对学生的数学运算核心素养要求较高，有一定的区分度。22．【命题意图】此题考查直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查学生关键能力。23．【命题意图】涉及含绝对值的谈论问题，考查学生的分析问题能力。