四川省绵阳市高中2021级第三次诊断性考试数学理

绵阳市高中2021级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBACBDDCBCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1014．15．16．2三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由列联表可计算， 4分∴有95%的把握认为参数调试能够改变产品合格率． 5分（2）根据题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2． 6分可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的， 8分设X表示这6件产品中淘汰品的件数，则， 9分可得： 10分． 12分18．解：（1）设的公差为d，则1，1+d，2+2d成等比数列， 1分∴，解得：d=1或d=−1， 3分而d=−1，不满足，，成等比数列，∴d=1， 4分∴数列的通项公式． 5分（2）令， 6分∴， 7分两式相减有：， 8分∴数列的前n+1项和为，即， 9分又，所以， 10分∴， 11分∴． 12分19．解：（1）过C作CH⊥交于H， 1分∵在平面内的射影落在棱上，∴平面，又平面， 2分∴， 3分又，且， 4分∴平面； 5分（2）∵，则， 6分过C作交于，连结，∵AA1与CC1的距离为则，又∵平面，则， 7分在Rt△CHQ中：，则，又且，∴平面∴又由（1）知：平面，∴，∴，则四边形ABHQ为矩形，∴，又四边形ABB1A1的面积为3，则BB1=3， 8分分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，设，∴，，，∵∴，解得， 9分∴B(2，0，0)，，，∴，，设平面的法向量为n1，∴，令，则n1， 10分易知平面的法向量n2， 11分∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 12分20．解：（1）离心率，则，=1\*GB3① 1分当x=1，，则，=2\*GB3② 3分联立=1\*GB3①=2\*GB3②得:， 4分故椭圆C方程为：； 5分（2）设过F，A，B三点的圆的圆心为Q(0，n)，，又，则，即， 6分又在椭圆上，故，带入上式化简得到：，=3\*GB3③ 7分同理，根据可以得到：，=4\*GB3④ 8分由=3\*GB3③=4\*GB3④可得：是方程的两个根，则， 9分设直线AB：，联立方程：，整理得：，=5\*GB3⑤ 10分故，解得：，∴， 11分∴直线AB的方程为：． 12分21．解：（1）当时，，∴，则切线斜率， 2分∴曲线在(e，)处的切线方程：， 4分即：， 5分（2）证明方法一：因为， 6分由得到；由得到．∴在单调递减，在单调递增．∴， 7分要证，即证：，只需证：（*） 8分设，则， 9分设，则，易知：在(1，2)上单调递减，而，，故必存在唯一，使得， 10分∴当时，，即；当时，，即，∴在上单调递增，在上单调递减． 11分而，，∴在(1，2)上恒成立，即（*）式成立，原命题得证． 12分方法二：因为， 6分由得到；由得到．∴在单调递减，在单调递增．∴， 7分要证，即证：，只需证：， 8分设，即证在(1，2)恒成立.则，令，则， 9分又∵，∴，∴在(1，2)上恒成立. 10分∴在(1，2)单调递减，又，∴存在，使得在单调递增，在单调递减.又， 11分∴在(1，2)恒成立，得证． 12分方法三：因为， 6分由得到；由得到．∴在单调递减，在单调递增．∴， 7分要证，即证：，只需证：， 8分令，则，设， 9分∴，易知在(1，2)单调递增．∴， 10分∴在(1，2)单调递增，又，∴存在唯一，使得当，单调递减，当，单调递增， 11分又，∴在恒成立，原不等式得证． 12分22．（1）方法一：令，即，解得， 1分∴或， 2分当时，； 3分当时，， 4分∴曲线C1与y轴的交点坐标为（0，4），（0，0）． 5分方法二：消参：由C1的参数方程得：， 1分即曲线C1的普通方程为：， 2分令，得或4， 4分∴曲线C1与y轴的交点坐标为（0，4），（0，0）． 5分方法一：将曲线C1：化为极坐标方程，得：， 6分联立C1，C2的极坐标方程，得，从而， 7分整理得：，所以， 8分即， 9分∴∠AOB． 10分方法二：将C2的极坐标方程，化为直角坐标方程：， 6分∴C2是过点（0,4）且倾斜角为的直线， 7分不妨设B（0,4），则∠OBA，因为BO为直径，所以∠BAO， 9分∴∠AOB． 10分23.（1）由得，① 1分又由， 3分且，所以，② 4分由①②得：； 5分（2）， 6分令，则， 7分∴， 9分∴当时，即时，的最大值为2． 10分