2013年江苏高考数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 13页 · 785 K

2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)参考公式:样本数据的方差,其中。棱锥的体积公式:,其中是锥体的底面积,为高。棱柱的体积公式:,其中是柱体的底面积,为高。一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。1、函数的最小正周期为▲。2、设(为虚数单位),则复数的模为▲。3、双曲线的两条渐近线的方程为▲。4、集合{-1,0,1}共有▲个子集。5、右图是一个算法的流程图,则输出的n的值是▲。6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲。7、现有某类病毒记作为,其中正整数可以任意选取,则都取到奇数的概率为▲。8、如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D、E、F分别为AB、AC、AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为,则:=▲。9、抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则的取值范围是▲。10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且。若(、均为实数),则+的值为▲。11、已知是定义在R上的奇函数。当时,,则不等式的解集用区间表示为▲。12、在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的方程为,右焦点为F,右准线为,短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为,F到的距离为。若,则椭圆C的离心率为▲。13、在平面直角坐标系xoy中,设定点A(a,a),P是函数图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为,则满足条件的实数a的所有值为=▲。14、在正项等比数列中,,则满足的最大正整数n的值为▲。二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、(本小题满分14分)已知向量。(1)若,求证:;(2)设,若,求的值。16、(本小题满分14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面平面SBC,,AS=AB。过A作,垂足为F,点E、G分别为线段SA、SC的中点。求证:(1)平面EFG//平面ABC;(2)。17、(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,点A(0,3),直线,设圆C的半径为1,圆心在直线上。(1)若圆心C也在直线上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标的取值范围。18、(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后,乙从A乘坐缆车到B,在B处停留1分钟后,再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟,山路AC的长为1260米,经测量,。(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19、(本小题满分16分)设是首项为、公差为的等差数列,为其前项和。记,其中c为实数。(1)若c=0,且成等比数列,证明:(2)若为等差数列,证明:c=0。20、(本小题满分16分)设函数,其中为实数。(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论。21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D、C,AC经过圆心O,且BC=2OC。求证:AC=2AD。B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵,求矩阵.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(为参数)。试求直线和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知≥>0,求证:≥。【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱中,AB⊥AC,AB=AC=2,=4,点D是BC的中点。(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值。23.(本小题满分10分)设数列:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,,…即当时,。记。对于,定义集合=﹛|为的整数倍,且1≤≤}(1)求中元素个数;(2)求集合中元素个数。参考答案1.【答案】π【解析】T=|eq\f(2π,ω)|=|eq\f(2π,2)|=π.2.【答案】5【解析】z=3-4i,i2=-1,|z|=QUOTE=5.3.【答案】【解析】令:,得.4.【答案】8【解析】23=8.5.【答案】3【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.6.【答案】2【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:.方差为:.7.【答案】【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则都取到奇数的概率为.8.【答案】1:24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1:2,故体积之比为1:8.又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1:3.所以,三棱锥与三棱柱的体积之比为1:24.9.【答案】[—2,eq\f(1,2)]【解析】抛物线在处的切线易得为y=2x—1,令z=,y=—eq\f(1,2)x+eq\f(z,2).画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(eq\f(1,2),0)时,zmax=eq\f(1,2).yxOy=2x—1y=—eq\f(1,2)x10.【答案】eq\f(1,2)【解析】所以,,,eq\f(1,2).11.【答案】(﹣5,0)∪(5,﹢∞)【解析】做出()的图像,如下图所示。由于是定义在上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式,表示函数y=的图像在y=x的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0)∪(5,﹢∞)。xyy=xy=x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)yxlBFOcba12.【答案】【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=。若,则=,整理得:,两边同除以:,得:,解之得:=,所以,离心率为:.13.【答案】1或【解析】14.【答案】12【解析】设正项等比数列首项为a1,公比为q,则:,得:a1=eq\f(1,32),q=2,an=26-n.记,.,则,化简得:,当时,.当n=12时,,当n=13时,,故nmax=12.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,所以,.(2),①2+②2得:cos(α-β)=-eq\f(1,2).所以,α-β=,α=+β,带入②得:sin(+β)+sinβ=cosβ+eq\f(1,2)sinβ=sin(+β)=1,所以,+β=.所以,α=,β=.16.证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB,所以F为SB的中点.又E,G分别为SA,SC的中点,所以,EF∥AB,EG∥AC.又AB∩AC=A,AB面SBC,AC面ABC,所以,平面平面.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,AF平面ASB,AF⊥SB.所以,AF⊥平面SBC.又BC平面SBC,所以,AF⊥BC.又AB⊥BC,AF∩AB=A,所以,BC⊥平面SAB.又SA平面SAB,所以,.17.xyAlO解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).设切线为:,d=,得:.故所求切线为:.(2)设点M(x,y),由,知:,化简得:,即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.故:1≤|CD|≤3,其中.CBADMN解之得:0≤a≤eq\f(12,5).18.解:(1)如图作BD⊥CA于点D,设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,AB=52k,由AC=63k=1260m,知:AB=52k=1040m.(2)设乙出发x分钟后到达点M,此时甲到达N点,如图所示.则:AM=130x,AN=50(x+2),由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2AM·ANcosA=7400x2-14000x+10000,其中0≤x≤8,当x=eq\f(35,37)(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:eq\f(1260,50)=eq\f(126,5)(min).若甲等乙3分钟,则乙到C用时:eq\f(126,5)+3=eq\f(141,5)(min),在BC上用时:eq\f(86,5)(min).此时乙的速度最小,且为:500÷eq\f(86,5)=eq\f(1250,43)m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C用时:eq\f(126,5)-3=eq\f(111,5)(min),在BC上用时:eq\f(56,5)(min).此时乙的速度最大,且为:500÷eq\f(56,5)=eq\f(625,14)m/min.故乙步行的速度应控制在[eq\f(1250,43),eq\f(625,14)]范围内.19.证:(1)若,则,,.当成等比数列,,即:,得:,又,故.由此:,,.故:().(2),.(※)若是等差数列,则型.观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:,即,而≠0,故.经检验,当时是等差数列.20.解:(1)≤0在上恒成立,则≥,.故:≥1.,若1≤≤e,则≥0在上恒成立,此时,在上是单调增函数,无最小值,不合;若>e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足.故的取值范围为:>e.(2)≥0在上恒成立,则≤ex,故:≤eq\f(1,e)..(ⅰ)若0<≤eq\f(1,e),令>0得增区间为(0,eq\f(1,a));令<0得减区间为(eq\f(1,a),﹢∞).当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞;当x=eq\f(1,a)时,f(eq\f(1,a))=﹣lna-1≥0,当且仅当=eq\f(1,e)时取等号.故:当=eq\f(1,e)时,f(x)有1个零点;当0<<eq\f(1,e)时,f(x)有2个零点.(ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点.(ⅲ)若a<0,则在上恒成立,即:在上是单调增函数,当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞.此时,f(x)有1个零点.综上所述:当=eq\f(1,e)或a<0时,f(x)有1个零点;当0<<eq\f(1,e)时,f(x)有2个零点.

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