2024届宁夏银川市、石嘴山市普通高中学科4月教学质量检测理科数学试题

银川市、石嘴山市2024年普通高中学科教学质量检测理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则（）A．B．C．D．2．设全集，则集合（）A．B．C．D．3．设a，b，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件4．抛掷两枚质地均匀的骰子，已知两枚骰子向上的点数之和为偶数，则向上的点数之和为8的概率为（）A．B．C．D．5．锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为，其中Q（单位）为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得，相关统计学参数，且预测值与实际值误差很小．在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为，经实验采集数据进行拟合后获得，相关统计学参数，且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为，存放16天后，电容量损失量约为（）（参考数据为：）A．100.32B．101.32C．105.04D．150.566．若，则（）A．B．C．D．7．在中，，P是内一点，，且的面积是的面积的2倍，则（）A．B．C．D．8．设函数，当时，方程有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．若函数在处取得极大值，则的极小值为（）A．B．C．D．10．如图，球与圆锥相切，切点在圆锥PO的底面圆周上，圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，设球的体积为，圆锥PO的体积为，则（）A．B．C．D．11．若，设，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，圆O与y轴负半轴的交点为Q，若直线PQ与x轴的交点M平分线段，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，项的系数是__________．14．己知点F是抛物线的焦点，点A在抛物线上，且AF与x轴垂直，过点A与OA垂直的直线交抛物线于另一点B，若，则抛物线C的方程为__________．15．在中，，点D在线段AB的延长线上，且，则__________．16．若定义在上的函数满足是奇函数，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）己知等差数列的前n项和为，，数列的前n项和，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题：（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A、B两组，测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：A组0.660.680.690.710.720.74B组0.460.480.490.490.510.54改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和．（1）求；（2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低．）19．（12分）如图，在四棱锥中，己知，O是AC的中点．（1）证明：平面ABCD；（2）若，设点E是PC上的动点，当OE与平面PCD所成的角最大时，求二面角的余弦值．20．（12分）设函数．（1）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，求m的值；（2）当时，证明：．21．（12分）已知椭圆的离心率，且点在椭圆E上，直线与椭圆E交于不同的两点A，B．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线OA，OB的斜率分别为，证明：；（3）设直线l与两坐标轴的交点分别为P，Q，证明：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一道作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心为，半径为1．（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）在圆C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求出最小距离．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）己知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立时m的最小值为t，且正实数a，b满足，证明：．理科数学参考答案一、选择题答案123456789101112ACABCBBCCADB二、填空题答案13．14．5．16．2三、解答题17．解：（1）设等差数列的公差为d，，3分选①，，取数列是首项为2，公比为2的等比数列，6分选②，，当时，，得：当时，由①②得∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，（2）由（1）知：当时，当时，12分18．解：（1），3分（2）当时，，，应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低9分当时，，，∴应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低．12分19．（1）证法1：，O是AC的中点连接OD，，在和中，平面ABCD，平面ABCD4分证法2：设G是AD的中点，又且平面POG又又平面ABCD连接OD，连接PG、OG，在和中平面ABCD，平面ABCD4分（2）以D为原点建立如图所示的坐标系设，由题意知：，设平面PDC的一个法向量为设，并设设OE与平面PCD所成的角为当时，取得最大值，从而OE与平面PCD所成角取得最大值此时，设平面EBD的一个法向量为取平面PDC的一个法向量为12分20．（1）解：由，得曲线在点处的切线斜率为1曲线在点处的切线为设曲线与直线相切于则：4分（2）证明：时，从而令令在单调递增，使得①时，时，在上单调递诚，上单调递增，由①得：12分证法2：（2）证明：当时，要证，先证令时，时，在单调递减，在单调递增，即令时，．01，h'（x）>0∴．h（x）在上单调递减，上单调递增，，即的x不存在即12分21．解：（1），又又椭圆方程为2分（2）联立直线与椭圆方程得又因为有两个交点，所以，解得设故又6分（3）由已知得：，即12分22．解，（1）直线l的参数方程是（t是参数）的普通方程为：又圆心C的极坐标为，则C直角坐标为又圆C的半径为1∴圆C的直角坐标方程为5分（2）在圆C上，设，则点P到直线的距离为：当，即时，，此时p的坐标为即：10分23．解：（1）当时，则的图像如下：由得：不等式的解集（2）由对任意的恒成立即：又，则，即由正实数a，b满足得：证法一：分析法证明：，要证：只需证：，即：只需证：，即：，则只需证：，即且，即证成立10分证法二：综合法证明：又，故；，，，．10分