2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测(二)数学(参考答案)一、单项选择题:1.D2.B3.A4.C5.A6.C7.B8.C二、多项选择题:9.ABD10.BD11.ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.81321nn+−139−112.13.514.40;A=(或)1621n+22部分参考答案:21636−6.PA()==,事件AB=“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”2646CCC345++41P(AB)41则PAB()==666,则PBA()==2646PA()63【答案】C7.直线PA1,PB1,PC1,PD1与平面ABCD1111所成角大小分别为1,2,3,4等价于直线,,,与直线AA,BB,CC,DD成角大小分别为−,−,11112122−,−,由=,可知P在线段BD上,又,则−−,与232413242224成角更小,则点P在线段OB上【答案】B8.由题意可知,两个函数图像都在x轴上方,任何一个为导函数,则另外一个函数应该单调递增,判断可知,虚线部分为yfx=(),实线部分为yfx=(),则A,B显然错误,对于fxfxfxfx()e(xx−−)e()()fx(),而言,,由图像可知,单调递增,,CDy==2xx−(,0)y=xx+(0,)(ex)eefx()单调递减,所以函数y=在x=0处取得最大值为1ex【答案】C13139.由实系数一元二次方程求根公式知z=−+i,z=−−i,z,z是1的两个立方虚根,1222221221313则z2=−+i=−−i=z(与顺序无关),A正确;1222223333因为z1=z2=1,所以z1−z2=0,B正确;222z1−z2=z2−z10,C错误;z1zz21===zz111,D正确.【答案】ABD10.已知所有棱长都相等,不妨设为1.A:过S作直线l∥AD,则l为平面SAD与平面SBC的交线,取AD中点E,BC中点F,连接ES,FS,则∠ESF为二面角A-l-B的平面角,连接EF,在△EFS中,2233(√)+(√)−1221cos∠ESF=2=≠0332(√)2所以平面SAD与平面SBC不垂直,故A错;B:取SB中点G,SC中点H,连接OGH,可知平面OGH∥平面SAD,所以当P∈GH时,OP∥平面SAD,这样的点P有无穷多,故B正确;C:由已知可知当Q在正方形ABCD各边中点时,SQ与底面ABCD所成的角最大,131휋휋cos∠SEO=2=√>,所以∠SEO<,所以不存在Q使得SQ与底面ABCD成的角为,故出错误;√3323321{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}D:作OI垂直于MN,连接SI,则∠SIO为二面角S-MN-O的平面角,ππ当MN都无限向点B靠拢时,∠SIO→;当M→A,N→C时,∠SHO→,42휋휋所以二面角S-MN-O范围是(,),故D正确.42【答案】BD1111.A:|푎|=,|푎|=,푛(푛−푐)2+1푛+1(푛+1−푐)2+1(푛+1−푐)2+1−[(푛−푐)2+1]=2푛+1−2푐因为c≤1,n∈N∗,所以2푛+1−2푐>0所以(푛+1−푐)2+1>(푛−푐)2+1所以|푎푛+1|<|푎푛|,即数列{||}an单调递减,故A正确;1B:푎=−<01(1−푐)2+1当n为偶数时,aan≥1必成立,c任意;11当n为奇数且n≥3时,为−≥−(푛−푐)2+1(1−푐)2+1等价于(푛−푐)2+1≥(1−푐)2+1n+1푛+1等价于c≤,而()=2,所以c≤2.综上c≤2,故B错误;22푚푖푛C:显然当i,j同奇或同偶时,必有aaij+0当i为奇数,j为偶数时,11(푖+푗−2푐)(푖−푗)푎+푎=−+=푖푗(푖−푐)2+1(푗−푐)2+1[(푖−푐)2+1][(푗−푐)2+1]因为i+j为奇数,2c为偶数,cN*,所以푖+푗−2푐≠0,所以,故C正确;D:先考虑最大项,最小项和为0,再调整:若和为0,则c必为相邻两整数正中间,如:上图是c=3.5情形,푎3+푎4=0;当c→3.4时,会有|푎3|>|푎4|,푎3+푎4<0,如下图——当c→3.6时,会有|푎3|<|푎4|,푎3+푎4>0,如下图——11*即c靠近偶数时,{}an的最大项与最小项之和为正数,临界值为2k−c2k+,kN,故D正确.22【答案】ACD2{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}12.1−3log2,−31681log1118181316=+=++===ffffloglog2log22log33333161616161613.设点P(x,y),由PB=2PA得x2+y2=4,若该圆上有且只有3个点直线lxym:340++=m的距离为1,则圆心到直线的距离d==1,解得m=5.513314.根据乘法原理和加法原理得到A4=C24+C24=40.奇数维向量,范数为奇数,则xi=1的个数为奇数,即1的个数为1,3,5,,21n+,12322524210nnnn−−+根据乘法原理和加法原理得到ACCCC2121212121nnnnn+++++=++++2222,21n+21n+02112222n+nn−210n+3=(2+1)=CCCC2n+12+2n+12+2n+12++2n+1221n+02112222210nnnn+−+1212222=−=−+−−()CCCC21212121nnnn++++3139121nn+−−两式相减得到A=(或)21n+22四、解答题:15.(1)因为aBbAsin3cos=−,由正弦定理可得sinsin3ABBAsincos=−……3分2sin0B,所以sin3cosAA=−,故tan3A=−,=A………………6分3(2)由题意可知SSSABDACDABC+=,111即cbbcsin60sin+=60sin120,化简可得bcbc+=,……………9分2222bca222+−(bcbca+−−)221在ABC中,由余弦定理得cosA===−222bcbc2(bcbc)−−2201从而=−,解得bc=5或bc=−4(舍)………………12分22bc1153所以S=bcsinA=5sin120=………………13分ABC224x1−x116.(1)当a=0时,fx()=,则fx()=,f(1)=0,f(1)=,exexe1所以切线方程为y=………………3分e1e−−x2x(2)当a=1时,fxx()ee=−−xx,f(xx)=−−=(1)ee−xx………………4分ex令g(x)=1−x−e2x,gx()=−1−2e2x0故gx()在R上单调递减,而g(0)=0,因此0是在上的唯一零点即:是fx()在上的唯一零点………………6分当x变化时,fx(),fx()的变化情况如下表:(,0)−0(0,)++−极大值fx()的单调递增区间为:;递减区间为:………………8分的极大值为f(0)=−1,无极小值.………………9分xe−x−ex−1x1(3)由题意知xe−x−aexex−1,即a,即a−,exe2xe3{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}x1e2x−2xe2x1−2x设,则,………………………………分m(x)=2x−m(x)=2=2x11ee(e2x)e1令m(x)=0,解得x=,211当x−,,m(x)0,m(x)单调递增,当x,+,m(x)0,m(x)单调递减,221111所以m(x)max=m=−=−,……………………………………………14分22ee2e1所以a−.………………………………………………………………………………15分2e1217.(1)方法一:AB=AB,===AAABAAAD222………………1分1121121DA=−AD−AA12111D1P=D1A+AP=(1−)AB+−AD+(−1)AA1……………2分2211D1PAC=(1−)AB+−AD+(−1)AA1(AB+AD)222112=(1−)AB+−AD+(−1)ABAA1+(−1)ADAA12211=8(1−)+8−+4(−1)=022D1P⊥AC,即D1P⊥AC.……………………………………………………5分(1)方法二:如图所示建立空间直角坐标系,设正四棱台的高度为h,则有A(2,2,0−),B(2,2,0),C(−2,2,0),222222D−−2,2,0,Ah,,−,Ch−,,,Dh−−,,,()111222222M(0,2,0)AC=−(22,22,0)1223232APh=(1)−+−+−=0,2(2,02−−2,0,0,,0,2)(2,)22222322DA=,,−−h12232323232DP=+DA=APh−+−+−h,,………………………4分112222故ACD=P0,所以DPAC⊥………………………………………5分11(2)方法一:确定正四棱台的高(传统法)取OC中点E,则C1E⊥平面ABCD,作EF⊥AM,垂足为F,连结C1F,由三垂线定理得C1F⊥AM,所以C1FE为平面AMC1与平面ABCD所成二面角的平面角,因为AB=22,333S=S=2=,……………………………………7分AME4AMC4213310EFAM=,EF=………………………………………………8分22104{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}3210CE210cosCFE=,tanCFE=,即1=,CE=2………………11分1713EF31方法二:确定正四棱台的高(空间向量)设平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)3232设平面AMC的法向量为mx=yz,,,AM=−2,22,0,ACh=−,,1()()122−2xy+22=0AM=m0则有,即3232,令xh=22,则mhh=(22,2,3)AC1=m0−x+y+hz=022………………8分33又题意可得cosmn,==,可得h=2………………11分8hh22++29724224因为=,经过计算可得P0,0,,D−−,,2,DP=2,2,………………13分1133223将代入,可得平面的法向量m=(42,22,3)………………14分设直线DP与平面AMC1所成角的为8442413++sincos,===DPm………………17分1691223289++++9xOP==cos6cos18.(1)设Bx(y,),=POP,则,……………3分yOB==sin3sinxy22消去得+=1所以B点轨迹的方程……………5分63(2)方法一:设Mxy(11,),Nxy(22,),直线MN的方程为ykxm=+ykxm=+222xy22消去y可得:(124260+++−=kxkmxm)+=1632=(4km)−4(1+2k2)(2m2−6)=48k2−8m2+240,即mk22+63−4km26m2−从而xx+=,xx=1212+k21212+k2yykx1212−−+1111mkx−+−mkkAM==ANxxxx1212−−−−22222k2xxk+−++−mx(xm11)()()
2024东北三省四高三一模数学答案
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