2024年东北三省四市教研联合体高考模拟(一)参考答案一、单项选择题:1.D 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.A 8.C二、多项选择题:9.AD 10.ABC 11.ACD三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)32n+1-112.5 13.2 14.40;2四、解答题:15.(本小题满分13分)【试题解析】(1)因为asinB=-槡3bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=-槡3sinBcosA!!!!!!!!!!!!!!!!!!3分sinB≠0,所以,sinA=-槡3cosA,故tanA=-槡3,A=120°;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6分(2)由题意可知S△ABD+S△ACD=S△ABC,111即csin60°+bsin60°=bcsin120°,化简可得b+c=bc,!!!!!!!!!!9分222b2+c2-a2(b+c)2-2bc-a21在△ABC中,由余弦定理得cosA===-,2bc2bc2(bc)2-2bc-201从而=-,解得bc=5或bc=-4(舍),!!!!!!!!!!!!12分2bc21153所以S=bcsinA=×5sin120°=槡.!!!!!!!!!!!!!!!!!13分△ABC22416.(本小题满分15分)x1-x1【试题解析】(1)当a=0时,f(x)=,则f′(x)=,f′(1)=0,f(1)=,exexe1所以切线方程为y=;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3分e1-x-e2x(2)当a=1时,f(x)=xe-x-ex,f′(x)=(1-x)e-x-ex=,!!!!!!!4分ex令g(x)=1-x-e2x,g′(x)=-1-2e2x<0,故g(x)在R上单调递减,而g(0)=0,因此0是g(x)在R上的唯一零点,即0是f′(x)在R上的唯一零点,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6分当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,+∞)f′(x)+0-f(x)单调递增-1单调递减参考答案 第 1页 (共5页){#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}书f(x)的单调递增区间为(-∞,0);单调递减区间为(0,+∞),!!!!!!!!!!8分f(x)的极大值为f(0)=-1,无极小值;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!9分xe-x-ex-1x1(3)由题意知xe-x-aex≤ex-1,即a≥,即a≥-,exe2xex1e2x-2xe2x1-2x设m(x)=-,则m′(x)==,!!!!!!!!!!!!!!!11分e2xe(e2x)2e2x1令m′(x)=0,解得x=,211当x∈-∞,,m′(x)>0,m(x)单调递增,当x∈,+∞,m′(x)<0,m(x)单调递减,(2)(2)1111所以m(x)=m=-=-,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!14分max(2)2ee2e1所以a≥-.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15分2e17.(本小题满分15分)x2y2【试题解析】(1)双曲线3x2-y2=a2可化为-=1,!!!!!!!!!!!!!1分a2a232112槡32a22S△ABF=|F1F2|·|AB|=(2×a)×=4a=12,即a=3,!!!!!!!4分12233槡a3y2双曲线C的标准方程为x2-=1;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5分3(2)∵F2(2,0)∴设直线l的方程为x=ty+2(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M为AB中点,3x2-y2=3联立双曲线C与直线l:消去x可得:(3t2-1)y2+12ty+9=0,{x=ty+2-12t9因此y+y=,yy=,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!7分123t2-1123t2-1-4-2-6t进而可得x+x=,即AB中点M的坐标为,!!!!!!!!9分123t2-1(3t2-13t2-1)6t2线段AB的中垂线为y+=-t(x+),!!!!!!!!!!!!!!!10分3t2-13t2-1-886t2+6则D(,0),即|DF|=2+=,!!!!!!!!!!!!!12分3t2-123t2-13t2-12222-12t296t+6|AB|=槡1+t(y1+y2)-4y1y2=槡1+t(2)-42=2,!!14分槡槡3t-13t-13t-1|DF|即2为定值1.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15分|AB|18.(本小题满分17分)1→→→→2【试题解析】(1)方法一:∵AB=AB,∴AA·AB=AA·AD=22×槡=2,!!!1分11211槡2→1→→∵DA=-AD-AA,121参考答案 第 2页 (共5页){#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}→→→→11→→∴DP=DA+AP=(1-λ)AB+λ-AD+(λ-1)AA,!!!!!!!!!!2分11(22)1→→→11→→→→∴DP·AC=(1-λ)AB+λ-AD+(λ-1)AA·(AB+AD)1[(22)1]→11→→→→→=(1-λ)AB2+λ-AD2+(λ-1)AB·AA+(λ-1)AD·AA(22)1111=8(1-λ)+8λ-+4(λ-1)=0,(22)→→∴D1P⊥AC,即D1P⊥AC;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5分(1)方法二:如图所示建立空间直角坐标系,设正四棱台的高度为h,则有A(槡2,-槡2,0),B(槡2,槡2,0),C(-槡2,槡2,0),D(-槡2,-槡2,0),槡2槡2槡2槡2槡2槡2A1,-,h,C1-,,h,D1-,-,h,M(0,槡2,0),(22)(22)(22)→AC=(-2槡2,2槡2,0),→1223232AP=(1-λ)(0,2槡2,0)+λ(-2槡2,0,0)+λ-槡,槡,h=-槡λ,22-槡λ,λh,2(22)(2槡2)→322DA=槡,-槡,-h,1(22)→→→3槡23槡23槡23槡2D1P=D1A+AP=-λ+,-λ+,λh-h,!!!!!!!!!!!!4分(2222)→→故AC·D1P=0,所以D1P⊥AC;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5分(2)方法一:确定正四棱台的高(传统法),取OC中点E,则C1E⊥平面ABCD,作EF⊥AM,垂足为F,连接C1F,由三垂线定理得C1F⊥AM,所以∠C1FE为平面AMC1与平面ABCD所成二面角的平面角,333因为AB=22,S=S=×2=,!!!!!!!!!!!!!!!!!7分槡△AME4△AMC4213310∴EF·AM=,∴EF=槡,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8分22103210C1E210cos∠CFE=,∴tan∠CFE=槡,即=槡,∴CE=2,!!!!!!!!10分1713EF31方法二:确定正四棱台的高(空间向量)设平面ABCD的法向量为n=(0,0,1),→→3槡23槡2设平面AMC1的法向量为m=(x,y,z),AM=(-槡2,2槡2,0),AC1=-,,h,(22)→-2x+22y=0AM·m=0槡槡则有,即,{AC·m=03槡23槡21-x+y+hz=0{22令x=2槡2h,则m=(2槡2h,槡2h,3),!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8分33由题意可得|cos〈m,n〉|==,可得h=2,!!!!!!!!!!!11分槡8h2+2h2+97参考答案 第 3页 (共5页){#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}24因为λ=,经过计算可得P0,0,,3(3)→4DP=2,2,,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!13分,(槡槡3)将h=2代入,可得平面AMC1的法向量m=(4槡2,2槡2,3),!!!!!!!!!!15分设直线DP与平面AMC1所成的角为θ,8+4+4→2413sinθ=|cos〈DP,m〉|=16=槡.!!!!!!!!!!17分2+2+32+8+991槡9槡19.(本小题满分17分)192.2×10-0.4【试题解析】(1)剔除第10天数据的(y)新=∑yi==2.4,9i=19991+2+…+922(t)新==5,(∑tiyi)新=118.73-10×0.4=114.73;(∑ti)新=385-10=285,9i=1i=1114.73-9×5×2.4673所以b^==,285-9×52600067322072207673故a^=2.4-×5=,所以y^=+t;!!!!!!!!!!!!!!4分6000120012006000(以上每个新数据求解正确,可给1分)23222319(2)由题意可知P=P+P(n≥3),其中P=,P=×+=,!!6分n5n-15n-21525552532325将此式变形可得P-λP=-λP+P=-λP+P,nn-1(5)n-15n-2(5)n-12n-2-λ5353令-λ=,解得λ=1或λ=-,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8分25-λ5方法一:333当λ=-时,则P+P=P+P(n≥3),5n5n-1n-15n-23所以P+P为常数列,{n5n-1}319323首项为P+P=+×=1,故P+P=1(n≥2),2512555n5n-13535将P+P=1(n≥2)变形可得P-=-P-(n≥2),n5n-1n85(n-18)552593所以P-是以首项为P-=-=-,公比为-的等比数列,{n8}1858405593n-193n-15故P-=--,即P=--+;!!!!!!!!!!!!12分n840(5)n40(5)8方法二:3当λ=1时,则P-P=-(P-P)(n≥3),nn-15n-1n-2参考答案 第 4页 (共5页){#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}19293所以{P-P}是以首项为P-P=-=,公比为-的等比数列,nn-12125525593n-2故P-P=-(n≥2)成立,nn-125(5)Pn-P1=(Pn-Pn-1)+…+(P3-P2)+(P2-P1)930313n-2=-+-+…+-25[(5)(5)(5)]3n-231--×-9(5)(5)93n-19==--+,25340(5)401--(5)93n-192故P=--++P(n≥2),又n=1时,P=,n40(5)4011593n-15533n即P=--+=+-,!!!!!!!!!!!!!!!!12分n40(5)888(5)(3)解答:533n533n519①当n为偶数时,P=+-=+>单调递减,最大值为P=;n88(5)88(5)8225533n533n52当n为奇数时,P=+-=-<单调递增,最小值为P=;n88(5)88(5)815192综上:数列{P}的最大值为,最小值为.!!!!!!!!!!!!!!!!!14分n2558②证明:对任意ε>0总存在正整数N=log3ε+1(其中[x]表示取整函数),0[5(3)]n38nlog(3ε)8533
2024届东北三省四市教研联合体高三下学期一模数学答案
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