华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评文科数学试题（老教材全国卷）答案

机密启用前!全国卷文科数学华大新高考联盟#$#%届高三%月教学质量测评文科数学参考答案和评分标准一#选择题题号!#&%'()*!$!!!#答案+,-,.,.-,+,.!!#答案$+#命题立意$本题考查集合元素的性质%集合间的关系&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!#解析$依题意&##&若$%/!(&解得$/0#!$/#舍去&若$%/)$&解得$/$!$/#舍去&综上所述&$/$或$/0#&故选+!#!#答案$,#命题立意$本题考查复数的概念%复数的四则运算%复数的几何意义&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!%!#0&1!#0&1!&0'1*!*!*#解析$依题意&%!/#0&1&%#/&2'1&则///001&故所求虚部为0&故%#&2'1!&2'1!&0'1&%&%&%选,!&!#答案$-#命题立意$本题考查频率分布直方图%样本的数字特征&考查数学运算%逻辑推理%直观想象%数学建模的核心素养!#解析$依题意&$!!'2$!#2#$2$!#2$!!2$!$'/!&解得$/$!!'&则前三块小矩形的面积分别为$!!'&$!!'$!#&$!&&故所求中位数为'23#/(&故选-!$!&%!#答案$,#命题立意$本题考查指对数的运算&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!&#&#$!%#解析$依题意&%!'/'245&!&%!*/'245&#&两式相减可得&$!%/45-&!/45&故/!$/&!&!''槡!$$&而#!''$*)%!$$%&'/#%&&故槡!$$&!#!'&&&故选,!'!#答案$.#命题立意$本题考查分层抽样的平均数与方差&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!'$3'2%$3&2!$3&#解析$所有人的平均工资为/%千元&故该公司所有员工工资的方差为!$$!###''$3(%2!'0%)2%$3()2!&0%)2!$3((2!&0%)*/(6)&DF!$$1C1故选.!AIB1H(!#答案$,1G#命题立意$本题考查空间线面的位置关系%基本事实以及面面平行的性E质定理&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!#解析$作出图形如图所示+不妨设&分别延长%交于点&#/(#'#!!(DC此时!(/&&连接)(交!*!于+&连接'+&设平面#')与平面,**!,!的交线为-&则)&-&因为平面#!#!'平面,**!,!&平面AB文科数学参考答案和评分标准!第!!页!共页{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}书#')(平面#!#!/#'&平面#')(平面,**!,!/-&所以-'#'&设-(,!,/.&则).'#'&此时%)),!.*)#'&故.,!/&连接#.&则五边形#.)+'为所求截面图形&故选,!&!#答案$.#命题立意$本题考查空间几何体的结构特征%空间点线面的位置关系&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!#解析$因为点/不在平面#*0上&故#&*&/&0四点不共面+而#//槡##2/#/#槡(&*0/槡*#20#/#槡'&故#/+*0+#*,,&而*/不垂直于平面#*,&则*/与,不构成垂直关系&,不垂直于平面#/*&故#/与,不垂直+/*///#槡#&#*/%槡#&#/#2/*#/#*#&则)#*/为直角三角形&故选.!)!#答案$-#命题立意$本题考查三角函数的诱导公式%二倍角公式%同角三角函数的基本关系&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!#718!##0#718!2!29:7#!0#;<8!#0#;<8!9:7!%!9:7!0718!#解析$///!-718!718!718!#718!9:7!&槡#槡#%%槡#&#!而9:70!/09:7!2718!/&则718!09:7!/&则!0#718!9:7!/&则#718!9:7!/&代!%##%*%*#718#!2!29:7#!0#;<8!!(槡#%*!!#槡#入!-式可知/03/0&故选-!718!!!*!#答案$,#命题立意$本题考查二次函数的图象与性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!30#!30#!30#!30#!0.&0.&020&020&#########解析$令1!2/2#0!30#22!&则/或/或/或/解!!!!1.$102$10.$12$&1!#1!#1!#1!#*!得&232或0232!&故选,!##!$!#答案$+#命题立意$本题考查三角函数的图象与性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!0#!!2/#4!!2!4!&!&%$#'#!(!)#解析$令2/4#!!4#&!&则#/或&故选+!/&$!!5!'!!!/.0/&1##(%!#!!!#答案$,#命题立意$本题考查抛物线的方程%直线与抛物线综合性问题&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!##解析$依题意抛物线*,6/%2&设直线#/,20%/7!60%!7+$&设/!2!&6!&0!2#&6#&联立020%/7!60%&/则6#0%762!(!70!/$&故6/%或6/%70%&则点/到直线6/0%的距离为16#/%2&!%%6!2%/%7&则点0到直线6/0%的距离为%-/&故所求距离之积为%7-/!(&故0777选,!文科数学参考答案和评分标准!第!#页!共页{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}!#!#答案$.#命题立意$本题考查利用导数研究函数的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!!#解析$依题意&$248!$22#2=#2&故=48$248!$22#2=#2&令8!2/2=2&2&&由89!2/!22!=2可得2/0!是8!2的极小值点&8!2在!0>&0!上单调递减&在!0!&2>上单调递增&且当2%$=#2时&8!2%$&当23$时&8!23$!由8!48$228!#2!23$&得48!$22#2&则$2对任意的2&2=#2!#20!=#2!!$&2>恒成立&令1!2/&2&!$&2>&则19!2/#&故当2&$&时&19!2%$&22!#!!!2单调递减&当2&&2>时&9!23$&!2单调递增&故(!2)?18//#=&则$2#=&1!#1111!#故$&!$&#=)&故选.!二#填空题!&!#答案$小强!#命题立意$本题考查双曲线的标准方程%双曲线的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!#解析$分析可知&小明%小红%小强三个人中必有!位同学说法错误&则小同的说法一定是正确的&即:02##$/!&则小明和小红正确&即双曲线*,06/!&故小强的说法错误!!(*!%!#答案$'槡(!#命题立意$本题考查正弦定理%余弦定理&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!&(2!$$0!*(!#!#解析$在)#/*中&由余弦定理&得9:74#/*//0&则4#/*/&即4#//#3(3!$#&!!!!$#&在)#/中&#//!$&4#//&4#//&由正弦定理得/&解得#/'槡(!&%&!!718718%&!'!#答案$(0!)&!))!y#命题立意$本题考查平面向量的数量积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象B的核心素养!CA#$,&&&&&Ox解析解法一#/*/,记#*,的交点为;以;为原点#*,M所在直线分别为2&轴建立如图!所示的平面直角坐标系&则!$&&&6D656565*!0&槡&&$&*/!0&槡&&0&&#!&槡&&$&,!$&0&&故#//%#,/65图!!0&槡&%&0&%&则/!&槡&0&槡&%&0&%&故//!&槡&0&槡&%&0&%0&&6565则*-//&(%0!)&(0!)&!))!AMD65656565解法二,*-//7*77/79:74/*&如图#所示&当/在线段#,上656565运动时可得07#!727/79:74/*27,!7&即0&27/79:74/*6565C2&&所以0!)2*-/2!)!A1BD1!(!#答案$&(!!图##命题立意$本题考查空间几何体的表面积与体积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!#解析$设'&)分别为*&#,的中点&连接#'&,'&)&*)&由已知&#/,&#*/,*&*/*&故)#*8),*&因为'是*的中点&所以#'/,'&因为#)/,)&故'),#,&即')是线段#,的垂直平分线&同理可得&')是线段*的垂直平分线&故球心在')上&设球的半径为<&则;2;*.*/&&#<.&&即故<.&&此时;为线段#,的中点&故所求外接球体积的最小值为&(!!';#2;,.#,/(&'#<.(&三#解答题!!#命题立意$本题考查回归直线方程的概念与运算&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!文科数学参考答案和评分标准!第!&页!共页{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}!2#2&2%2'2(22)2*2!$#解析$!!依题意&29//'!'&……………………………………!!分!$0!2!2#2&2&2%2%2%6:/!$2/!#&……………………………………………………………!#分!$!$!$!9!:9:;2@A26@A6;2@6@A!$26=@?!@?!!$A!$B'!'B!##$故>?!$?!$?#?&………………!(分###&)'A!$B'!'&&!2@A292@A!$29;@?!;@?!#$!!#(#$#(=$/!#03/&故所求回归直线方程为=6/22!………………………………………!分&&#&&&&#$#(!#由!!可知&当2/##时&=6/3##2/##9?&……………………………………………!!$分&&&故所求残差为#!!&0##/0$!9?!………………………………………………………………!!#分!)!#命题立意$本题考查空间线面的位置关系%空间几何体的体积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!!#解析$!!取C,的中点D&连接/D&0D&则/D'*,&且/D/*,&…………………………!!分#故/D'0&/D/0&则四边形/D0为平行四边形&…………………………………………!#分故/'0D&……………………………………………………………………………………………!&分而/<平面C,0&0D=平面C,0&故/'平面C0,!…………………………………………!%分!#取#,的中点;&连接;C&因为)C#,为等边三角形&故C;,#,&因为C#,,平面#*,&且C#,(平面#*,/#,&故C;,平面#*,&……………………!'分因为#,/%&故C;/#槡&&S!M因为/为C*的中点&故/到平面,*的距离为C;/槡&&#PD在菱形#*,中&4,#/($@&故),*为等边三角形&C!槡&#O又#,/%&故C/33%/%槡&&),*##ANB!!!故&/-C-C;/3%槡&3槡&/%&…………!!$分/E,*&),*#&由/为C*的中点可得&点C到平面,/的距离等于点*到平面,/的距离&故&CE,//&*E,//&/E,*/%&即四面体C,/的体积为%!……………………………………!!#分!*!#命题立意$本题考查数列的递推关系%裂项相消法&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!#解析$!!当F/!时&#C!/#$!/$!2#&解得$!/#+………………………………………………!!分当F.&时&#CF/F!$F2#&#CF0!/!F0!!$F0!2#&两式相减可得&!F0#$F0!F0!$F0!/0#&$F$F0!!!$F0!$F0#!!$&$#!则0/0#0&0/0#0&.&0/0#!0&F0!F0#!F0#F0!F0#F0&!F0&F0##!!#$F$#%0#F累加可得&0/&则$/F2!+…………………………………………………………!'分F0!!F0!F而F/!&#也符合题意&故$F/F2!+……………………………………………………