辽宁省鞍山市普通高中2024届高三下学期第二次质量监测试题数学答案

鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测数学参考答案选择题：题号1234567891011答案DCCBBCADADABDBCD412．12π13．14．5e215.（1）解：m=0.012.................................................................................2分设中位数为x0，由0.260.50.56可知，x060，70)且(x0−+=600.030.260.5).....................................4分x0=68即这50名学生分数的中位数为68．...............................5分（2）解：分数在[70，80)的7人，在[80，90)的3人，[90100]，的1人.6分可取值的集合为0，1，23，CC035638，分P(=0)=3=................................................................7C11165CC12842838，分P(====1)3.......................................................8C1116555CC2124838，分P(====2)3........................................................9C1116555CC30138，分P(===3)3................................................................10C11165的分布列为：0123562881P1655555165............................................................................................................11分562881的数学期望E()=0+1+2+3，...............12分16555551651359==．..........................................................................13分16511516.（1）证明：在△BCD中，CD==BC7，cos=DCB，7由余弦定理可得BD2=BC2+CD2−2BCCDcosDCB...........1分即BD=2．......................................................................................2分{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}又因为DE=2，E=DB60，所以△BDE为正三角形设BD中点为F，连接EF、PF，故（由△BDE为正三角形可知）BD⊥EF，（由CDB=C可知）BDP⊥F，（EF、PF平面PEF，EFPFF=）所以BD⊥平面PEF，.....................................................................4分（又因为PF平面PEF）故BDP⊥E．....................................5分在△PFD中易得PF=6，在△BDE中易得EF=3，又因为EP=3，由勾股定理可知PEE⊥F，.............................6分又因为EF、BD平面ABDE，EFBDF=，..........................7分所以PE平面ABDE．..................................................................8分（2）解：因为AE∥BD，所以AE⊥EF，z再由PE⊥平面ABDE可知，PPE⊥AE，PE⊥EF，故可以E为坐标原点，EA，EF，EP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．....................................................E9分D在坐标系中，各点坐标分别为：AFxyA(1，0，0)，B(130，，)，F(030，，)，BP(0，0，3).......................................................................................10分设平面PAB的法向量为n1111=(xyz，，)，AB=03，0，AP=-1，0，3因为()，()，由nn11==ABAP00，可得，，，平面PAB的一个法向量n1=(301)，..........................................12分设平面PDB的法向量为n2222=(xyz，，)，同理可得，平面PAB的一个法向量n2=(0，11，)，.........................13分nn设所求锐二面角为，则cos=12，..................................14分nn122整理得cos=．.........................................................................15分4217.（1）解：f(x)=ax−(a+2)+，.........................................................2分x曲线y=f()x在x=2处的切线与y轴垂直，{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}2故faa(2)2(2)0=−++=，........................................................4分2解得a=1．.......................................................................................5分2axaxaxx2−++−−(2221)()()（2）解：fxaxa()2=−++==()xxxx+(0，)........................................................................................6分①当a0时，由fx()0得01x，由fx()0得x1........7分2②当a0时，由fx()=0得x=或x=1，................................8分a22ⅰ若1，即02a，则由得或x，aa2由得1x，..........................................................10分a2ⅱ若=1，即a=2，则fx()0当且仅当x=1时取等，.....11分a22ⅲ若1，即a2，则由得0x或x1，aa2由得x1，..........................................................13分a综上，当时，fx()的单调增区间为(01，)，单调减区间为(1,+)；2当时，的单调增区间为，，+，a2单调减区间为1,；a当a=2时，的单调增区间为(0，+)；2当a2时，的单调增区间为0，，(1，+)，a2单调减区间为,1．a18.（1）由若OB=OC可知，B，O，C三点共线，再由椭圆的对称性可知，B，C关于原点中心对称，即xx32=−，yy32=−，.................................1分1易知M(−20，)，由直线MB和直线MC的斜率之积为−可得，4yy22−1=−对任意x2成立，.....................................................3分xx22+2−+24221即yx22=−(4)对任意x2成立，4{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}2222xy22xx224−再由+=1，消去y2，可知+=1对任意x2成立，4b244b2故b2=1，.................................................................................................4分所以b=1．（注：原题中忘了给出条件b0，所以，将错就错吧☺）...........................................................................................................5分2x1（2）若xx12=，则y=1−，1,2421x12△OAB的面积为1，即x−=211，解得x1=2，2411故xx22==2，yy22==，所以xx22+=4，....................6分212121222yy12+=1若xx12，即直线AB斜率存在，设直线AB的方程为：yk=+xm，2x2代入椭圆方程得++=(kxm)1，4222所以xx12，是关于x的方程(418440kxkmxm+++−=)的两实根，由韦达定理可知，当△=−+−(84kmkm41440)2(22)()即−8km44m2−41km22+时，xx+=，xx=，......7分1241k2+1241k2+22222−−−+8444kmmkm41xxxxx12121−=+−=−=2x()44222414141kkk+++1441km22−+△OAB的面积为1，即m=1241k2+整理得412km22+=.....................................................................9分故2222222−−−−844844kmmkmmxxxxx12121+=+−=−=−2x()22222241412kkmm++1644km22−即xx22+=−=4...........................................10分12mm2222综上，xx12+=4，222222x1x2x1+x2yy12+=1−+1−=2−=1......................11分444x1++x2y1y2（3）显然，D，，22{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}222222由（2）可知，OAOBxyxy+=+++=11225，222222又OAOBOAOBODDAODDAODDA22+=+=++−=+()()2()即OA2+OB2=2(OD2+DA2)4ODDA=2ODAB5所以ODAB，.....................................................................15分21当且仅当ODDAAB==时取等号，2此时△OAB为直角三角形且∠AOB为直角，故OAOBx=+=+++xy12121212yxxkxmkx