华大联盟2024届高三下学期3月联考试题(全国乙卷) 数学(理) Word版含解析

2024-03-30 · U1 上传 · 16页 · 1.1 M

绝密★启用前(全国卷)理科数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,若的子集有4个,则的值为()A.-3B.-1C.2D.32.已知复数,则在复平面内对应点的坐标为()A.B.C.D.3.已知点为平面内不同的四点,若,且,则()A.B.C.D.4.近几年随着技术的发展,虚拟人的智能化水平得到极大的提升,虚拟主播逐步走向商用,如图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数(较上一年增加的数量)条形图,根据该图,下列说法错误的是()A.2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字,这两个数字的平均数大于110的概率为5.如图,网格纸中小正方形的边长为,粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图,则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为()A.B.C.D.6.已知实数满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.7.中,则的面积为()A.B.C.D.8.若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧,则的取值范围是()A.B.C.D.9.知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》,其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法:考虑一个棱长为2的正方体,分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球,则这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为()A.B.C.D.10.已知点为坐标原点,点为直线与椭圆的一个交点,点在上,,若,则的长轴长为()A.B.3C.D.611.已知,则()A.B.C.D.12.已知第一象限内的点在双曲线上,点关于原点的对称点为是的左、右焦点,点是的内心(内切圆圆心),在轴上的射影为,记直线的斜率分别为,且,则的离心率为()A.2B.8C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中的系数为__________.14.函数是偶函数,则__________.15.平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理:三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.若点都在圆上,直线方程为,且的垂心在内,点在线段上,则圆的标准方程为__________.16.已知,给出下列命题:①的图象关于点对称;②的值域为;③在区间上有33个零点;④若方程在区间有4个不同的解,其中,则的收值范围是.其中所有正确命题的序号为__________.(少选、错选都不给分)三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知等差数列的前项和为,公差,且成等比数列.(1)求;(2)若,数列的前项和为,求.18.(12分)如图,在三棱锥中,,其余各棱的长均为6,点在棱上,,过点的平面与直线垂直,且与分别交于点.(1)确定的位置,并证明你的结论;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)某高中数学兴趣小组,在学习了统计案例后,准备利用所学知识研究成年男性的臂长与身高之间的关系,为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长,得到如下数据:1591651701761806771737678(1)根据上表数据,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立关于的回归方程(系数精确到0.01);(3)从5名样本成年男性中任取2人,记这2人臂长差的绝对值为,求.参考数据:参考公式:相关系数,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.20.(12分)已知倾斜角为的直线与抛物线只有1个公共点的焦点为,直线的倾斜角为.(1)求证:;(2)若,直线与直线交于点,直线与的另一个交点为,求证:.21.(12分)已知函数.(1)若的导数分别为,且,求的取值范围;(2)用表示中的最小值,设,若,判断的零点个数.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的极坐标方程;(2)若直线与交于点,求的周长.23.选修4-5:不等式选讲已知.(1)若,求的最小值;(2)若,证明:.绝密★启用前(全国卷)理科数学参考答案1.【答案】C【解析】因为,且的子集有4个,则中有2个元素,且这两个元素为2,3,所以,故选C.2.【答案】A【解析】因为,所以,所以在复平面内对应的点的坐标为,故选A.3.【答案】D【解析】由得,即,又,所以,故选D.4.【答案】B【解析】由每年增加数均为正数,可得A正确;20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121,B错误;20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915,C正确;当且仅当从33,48,76,84,121中任取两个数字,其平均数不大于110,所以所求概率为正确,故选B.5.【答案】B【解析】解法一:该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体,每个长方体的底面都是边长为的正方形,冠军台高,亚军台高,季军台高,该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为的正方形面积,减去2个底边长为高为的矩形面积,减去2个底边长为高为的矩形面积,即,故选B.解法二:该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体,每个长方体的底面都是边长为的正方形,冠军台高,亚军台高,季军台高,前后两个面的面积之和为,上面3个面的面积之和为,左右4个侧面的面积之和为,所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为,故选B.6.【答案】C【解析】如图所示,不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,设,则,作直线,把该直线平移到点处取得最大值,,平移到点处取得最小值,,所以的取值范围是,故选C.7.【答案】B【解析】因为,由余弦定理得,所以,所以的面积为,故选B.8.【答案】D【解析】因为,则,设切点为,则,即,整理得,所以,故选D.9.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有在正方体内,以6个面的中心为球心的球各有在正方体内,所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和,所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为,故选D.10.【答案】C【解析】设,由得,由可得,所以,所以,所以的长轴长为,故选C.11.【答案】A【解析】设,则在上单调递减,所以,所以,,所以,故选A.12.【答案】A【解析】设圆与分别切于点,则,且,所以,点,设,则,所以,所以,,故选A.13.【答案】-1【解析】的展开式中的系数为.14.【答案】【解析】因为是偶函数,所以,所以.15.【答案】【解析】由的垂心到直线距离,设圆半径为,由塞尔瓦定理可得,由圆的几何性质可得,联立解得,因为直线方程为,所以直线方程为,设,则到直线距离,解得(舍去)或,所以圆的标准方程为.16.【答案】①④(少选、错选都不给分)【解析】由,可得①正确;由得,当,②正确;,令得或,,所以在上有31个零点,③错误;是以为周期的周期函数,当时在上有2个实根,且;当时在上没有实根,在上有2个实根,且,,所以,所以的取值范围是,④正确,所以正确命题的序号为①②④.17.【解析】(1)由得,所以,因为成等比数列,所以,即,把代入上式得,解得或,当时,,不符合题意,当时,,所以(2)因为,当为偶数时,,所以.18.【解析】(1)取中点,连接,由已知可得,所以,因为,所以平面,因为平面,所以平面平面,过作的平行线与的交点即为,过作的平行线与的交点即为,因为,所以,所以当时,平面与直线垂直.(2)由题意可得,因为,所以,以为原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以设平面的一个法向量为,则有,得,取,得,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.19.【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得,,,.因为与的相关系数近似为0.997,说明与的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.(2)由及(1)得,,所以关于的回归方程为(说明:根据,得出.正确,)(3)的取值依次为,,,所以20.【解析】(1)方法1:设,则的方程为,与联立得,因为直线与抛物线只有1个公共点,所以,整理得,所以,又,所以,因为,所以,所以方法2:易知点在第一象限,且直线与相切于点,由,得,所以的方程为,设与交于点,则,所以由抛物线的几何性质可知,故(2)时,的方程为,把代入得的方程为,把代入得,所以,由(1)知,,设,设直线方程为,与联立得,是该方程的两个根,所以,所以,所以,所以21.【解析】(1)因为,所以,由得,因为,所以,所以问题转化为时恒成立,即时恒成立,设,则时单调递减,时单调递增,所以,所以,即的取值范围是.(2)因为,设,则,(i)若,时单调递增,时单调递减,所以,所以时,没有零点,(ii)若,由(1)知在上单调递增,且,所以,当时,单调递增,且,存在唯一使得,,当时,,在上单调递减,且,所以存在唯一使得,综上,时没有零点,时有2个零点.22.【解析】(1)将中的参数消去,得,把代入得直线的极坐标方程为.(2)解法一:设,由方程组得,所以,即.因为点到直线的距离,所以,所以的周长为解法二:由,得的直角坐标方程为,即,曲线是以为圆心,半径为2的圆,点到直线的距离,所以,直线与直线垂直,点到直线的距离,所以,所以的周长为23.【解析】(1)因为,所以,当时等号成立,所以的最小值为2.(2)因为且,要证,即证,即证,整理得,所以即证,而,等号在时成立.所以成立.

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