2024届湖南省邵阳市高三二联数学

2024年邵阳市高三第二次联考试题卷数学本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.一组数据：11,30,31,25,20,32,41的第30百分位数为（）A.30B.31C.25D.202.若集合A=x∣2x>8,xÎN*，集合B=x∣x2-7x-8<0，则ABÇ的真子集个数为（）A.14B.15C.16D.311a3.已知a为锐角，若sina=，则cos2=（）424+154-154-1515A.B.C.D.88444.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（）A.240种B.120种C.156种D.144种5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2,CD=1,ÐA=45o.点P在uuuruuur线段AB与线段BL上运动，则EH×FP的取值范围为（）A.-4,6B.0,6C.0,8D.4,86.已知三棱锥P-ABC中，PA^平面ABC,ÐABC=60o,PA=AC=2，则此三棱锥外接球的表面积为（）14π28πA.B.C.10πD.5π33x2y27.已知直线l:x-2y-2=0与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于AB,两点.若弦AB被直线a2b2m:x+2y=0平分，则椭圆C的离心率为（）1235A.B.C.D.24248.已知函数fx的定义域为R,f¢x为fx的导函数.若f1=e，且f¢x+ex0,y>0，若4x2+3xy+y2+mxy>2x+y恒成立，则实数m的取值范围是__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1^平面ABCD.（1）证明：BD^CC1；o（2）若AB=2,AA1=3,A1B1=1,ÐABC=60，棱BC上是否存在一点P，使得平面AD1P与平面17ADD1的夹角余弦值为.若存在，求线段CP的长；若不存在，请说明理由.1716.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值；（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布Nm,s2，其中m为样本平均数的估计值，s=10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题1的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为P，求概率P的8最小值.附：若随机变量X服从正态分布Nm,s2，则PXm-s„„m+s»0.6827，PXPXm-2s„„„„m+2s»0.9545,m-3sm+3s»0.9973.17.（15分）设函数fx=mx+1ex,m>0.（1）求fx的极值；（2）若对任意xÎ-1,+¥，有lnfx„2ex恒成立，求m的最大值.x2y218.（17分）已知双曲线的左焦点为F-3,0，点M2,6在双曲线上，直Γ:2-2=1(a>0,b>0)1ab线l与双曲线Γ交于AB,两点.（1）若l经过点-2,0，且ÐAOB=90o，求AB；uuuruuur（2）若l经过点F1，且AB,两点在双曲线Γ的左支上，则在x轴上是否存在定点Q，使得QA×QB为定值.若存在，请求出VQAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.19.（17分）给定整数n…3，由n元实数集合P定义其随影数集Q=x-y∣x,,yÎPx¹y.若minQ=1，则称集合P为一个n元理想数集，并定义P的理数t为其中所有元素的绝对值之和.（1）分别判断集合ST=-2,-1,2,3,=-0.3,-1.2,2.1,2.5是不是理想数集；（结论不要求说明理由）（2）任取一个5元理想数集P，求证：minPP+max…4；（3）当P=x1,,,x2Lx2024取遍所有2024元理想数集时，求理数t的最小值.注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，maxPP,min分别表示数集P中的最大数与最小数.2024年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CBADCBCDfxf¢xex-fx×exf¢x-fx+ex8.D解析：构造gx=+x,g¢x=+1=<0,\gx在exQe2xexxfxf1R上单调递减，由fx<2-xe得：fx+xex<2ex,+x<2=+1，即gx1，故选D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCACD11.ACD解析：由fx+fx+2=4，知y=fx的周期为4.且20244f1+f2+f3+f4=ëéf1+f3+f2+f4ûù=8，所以åf(i)=506åf(i)=4048，i=1i=1故D正确.由g2x-1为奇函数知gx关于-1,0对称，所以g-1=0.由fx+fx+2=4得f¢x+f¢x+2=0，即gx+gx+2=0.故gx的周期为4且g-1+g1=0，可得g1=0，故A正确.由上知gx的周期为4且gx关于-1,0对称，所以gx关于3,0对称.则有gx+g6-x=0，即f¢x+f¢6-x=0.所以fx-f6-x=c，令x=3，得c=0.故fx-f6-x=0，所以fx关于x=3对称.又f2+f4=4，所以f2=f4=2，故B错误.又f4=f8，所以f2=f8，故C正确.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）712.913.14.22-7,+¥142x+y-4x2+3xy+y214.22-7,+¥解析：原不等式等价于m>，令xy2x+y-4x2+3xy+y2xyxyxyz==2+-4++3.令t=2+，且t…22，则xyyxyxyx211z=t-t-1=在22,+¥上单调递减，\z„=22-7,\m>22-7.故t+t2-122+7m的范围是22-7,+¥.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）（1）证明：连接AC,Q底面ABCD是菱形，\BD^AC.又AA1^平面ABCD,BDÌ平面ABCD，\BD^AA1.又ACÇAA1=A,\BD^平面A1AC.Q四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1,CC1延长线交于一点，\ACCA1,,,1四点共面.\BD^CC1.（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，则ADD0,0,0,0,2,0,10,1,3，若存在点P满足题意，则设P3,y,0,yÎ-1,1.r易知平面AD1D的一个法向量n=1,0,0,r设平面AD1P的法向量m=x0,,y0z0.uuuuruuurAD1=0,1,3,AP=3,y,0.ìruuuurìïm×AD1=0,ïy0+3z0=0,则í则íruuurîïm×AP=0.îï3x0+y×y0=0.令，则z=-1,x=-y,mr=-y,3,-1y0=300.mr×nry171\cosmr,nr===，解之得y=±.mr×nr4+y217213故在棱BC上存在点P满足题意，此时CP=或CP=.2216.（15分）（1）Q10´0.012+0.026+0.032+a+0.01=1，\a=0.02.样本平均数的估计值为50´0.12+60´0.26+70´0.32+80´0.2+90´0.1=69.（2）Qm=69,s=10.5.1-0.9545\PXPX……90=m+2s==0.02275.2\能参加复试的人数约为40000´0.02275=910（人）.1（3）由题意有x2y=.82122答对两道题的概率Px=1-yCx+21-xyx=+2xy-3xy.113而x2y=\P=x2+-.84x8131令fx=x2+-(00,fx在ç,1÷内单调递增.è2øè2ø13\当x=时，f()x=.2min83故概率P的最小值为.817.（15分）解：（1）f¢x=mx+2ex,m>0.令f¢x>0，得x>-2，令f¢x<0，得x<-2.故fx在--¥,2单调递减，在-2,+¥单调递增.m\fx在x=-2处取得极小值f-2=-，无极大值.e2（2）lnfx„2ex对xÎ-1,+¥恒成立，即lnm„2ex-lnx+1-x对xÎ-1,+¥恒成立.x令gx=2e-lnx+1-x,xÎ-1,+¥，则只需lnm„g(x)min即可.1g¢x=2ex--1,xÎ-1,+¥.x+1g¢x在-1,+¥上单调递增且g¢0=0.\当