鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.时间120分钟.满分150分.第Ⅰ卷选择题单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂在答题卡上.1.若复数满足,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.【详解】因为,所以由,得.故选:B.2.已知集合,集合,若,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A及,根据集合的包含关系求出结果.【详解】因为,或,因为集合,,所以,故选:A.3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(FlorenceNightingale)设计的,图中每个扇形圆心角都是相等的,半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量(单位:亿人次),并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示),根据此图,以下说法正确的是()A.2015年至2022年,知识付费用户数量先增加后减少B.2015年至2022年,知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C.2015年至2022年,知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍【答案】D【解析】【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项,即可得解.【详解】对于A,由图可知,2015年至2022年,知识付费用户数量逐年增加,故A错误;对于BC,知识付费用户数量的逐年增加量分别为:2016年,;2017年,;2018年,;2019年,;2020年,;2021年,;2022年,;则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多,知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增,故BC错误;对于D,由,则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍,故D正确.故选:D.4.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则 D.若,,则【答案】B【解析】【分析】利用空间直线与平面,平面与平面的位置关系判断ACD,利用空间向量判断线面位置关系,从而判断B,由此得解.【详解】对于A,若,,则有可能,故A错误;对于B,若,,则直线的方向向量分别为平面法向量,又,即,所以,故B正确;对于C,若,,则有可能,故C错误;对于D,若,,则有可能,故D错误.故选:B.5.某单位为了解职工体重情况,采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本.其中,男性平均体重为64千克,方差为151;女性平均体重为56千克,方差为159,男女人数之比为,则单位职工体重的方差为()A.166 B.167 C.168 D.169【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.【详解】依题意,单位职工平均体重为,则单位职工体重的方差为.故选:D.6.已知,,=()A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】利用正切的和差公式化简求得,再利用三角函数诱导公式与三角恒等变换,结合正余弦的齐次式法即可得解.【详解】因为,所以,又,即,解得,所以.故选:D.7.已知椭圆:的左焦点为,如图,过点作倾斜角为的直线与椭圆交于,两点,为线段的中点,若(为坐标原点),则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求出点坐标,再利用点差法求得,进而可得椭圆离心率.【详解】依题意,椭圆的左焦点为,,过作轴,垂足为,由,得,,则,设,则有,,由,两式相减得,则有,所以.故选:B.8.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为()A.22 B.23 C.30 D.31【答案】C【解析】【分析】由得,构造函数,利用导数求得的单调性,求得的取值范围,结合不等式的知识即可得解.【详解】因,,所以,设,则,令,则,令,则,所以在上单调递增,在上单调递减,因为,,,所以,所以,又,,要使得成立,只需,即,所以正整数的最大值为.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是由变换得,从而得以构造函数,由此得解.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图所示,已知角的始边为轴的非负半轴,终边与单位圆的交点分别为,为线段的中点,射线与单位圆交于点,则()A.B.C.点的坐标为D.点的坐标为【答案】ABC【解析】【分析】由角的定义求解可判断A;由圆的性质及角的定义求解可判断B;由三角函数定义求解可判断C;由中点坐标公式及三角函数定义,结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.【详解】对于A:因为,,所以,正确;对于B:依题意为线段的中点,则,则,又,所以,正确;对于C:为线段的中点,射线与单位圆交于点,则为的中点,所以,又,所以点的坐标为,正确;对于D:,,所以点的坐标为,错误.故选:ABC10.中,内角,,的对边分别为,,,为的面积,且,,下列选项正确的是()A.B.若,则只有一解C.若为锐角三角形,则取值范围是D.若为边上的中点,则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A,直接解三角形可判定B,利用角的范围结合正弦定理可判定C,利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.【详解】对于A,因为,所以,则,因为,所以,故A正确;对于B,因为,则,,故只有一解,故B正确;对于C,若为锐角三角形,则,,则,则,即,由正弦定理可知:,故C错误;对于D,若D为边上的中点,则,所以由余弦定理知,得,又,所以,当且仅当时取得等号,所以,即,故D正确.故选:ABD.11.直四棱柱的所有棱长都为4,,点在四边形及其内部运动,且满足,则下列选项正确的是()A.点的轨迹的长度为.B.直线与平面所成的角为定值.C.点到平面的距离的最小值为.D.的最小值为-2.【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系,表示,化简后得点的轨迹方程,得轨迹长度判断A;向量法求线面角判断B,向量法求点到平面距离,结合点的轨迹得最小值判断C;坐标表示向量数量积,结合点的轨迹最小值判断D.【详解】直四棱柱的所有棱长都为4,则底面为菱形,又,则和都是等边三角形,设与相交于点,由,以为原点,为轴,为轴,过垂直于底面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则有,,点在四边形及其内部运动,设,,由,有,即,所以点的轨迹为平面内,以为圆心,2为半径的半圆弧,所以点的轨迹的长度为,A选项错误;平面的法向量为,,直线与平面所成的角为,则,又由,则,所以直线与平面所成的角为定值,B选项正确;,设平面的一个法向量为,则有,令,得,,所以点到平面的距离,,所以时,,所以点到平面的距离的最小值为,C选项正确;,,其几何意义为点到点距离的平方减12,由,点到点距离最小值为,的最小值为,D选项错误.故选:BC【点睛】方法点睛:空间几何体中的相关问题,要利用好几何体本身的结构特征,点线面的位置关系,图形中的角度和距离等,建立空间直角坐标系,利用向量法解决问题,也是常用的方法.第Ⅱ卷非选择题三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.的展开式中的系数为______.【答案】【解析】【分析】由题意得的展开式通项,令,求出回代到通项公式中去即可求解.【详解】的展开式通项为,由题意令,解得,所以的展开式中的系数为.故答案为:.13.已知抛物线的焦点为,是上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先分析得的轨迹,再利用抛物线的定义,结合圆的性质数形结合即可得解.【详解】如图所示,易知,直线过定点,因为,所以Q在以为直径的圆上,不妨设其圆心为,显然半径,分别过作准线的垂线,垂足为,结合抛物线定义有,当且仅当均在线段上时取得等号.故答案为:.14.已知函数,的定义域为,为的导函数,且,,若为偶函数,求=______.【答案】【解析】【分析】先利用复合函数的导数与的奇偶性判断的奇偶性,进而推得与的周期性,再利用赋值法求得的值,从而得解.【详解】因为是偶函数,则,两边求导得,所以是奇函数,故,由,代入,得,则,所以,又是奇函数,所以,所以是周期函数,且周期为4,又,可知也是以4为周期的周期函数,令,得,故,而所以,令,得,则,而,,又,则,,故答案为:.【点睛】结论点睛:函数的对称性与周期性:(1)若,则函数关于中心对称;(2)若,则函数关于对称;(3)若,则函数的周期为2a;(4)若,则函数的周期为2a.四、解答题:本题共6小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为数列的前项和,已知是首项为、公差为的等差数列.(1)求的通项公式;(2)令,为数列的前项积,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用等差数列定义可得,再利用与的关系即可得解;(2)由与可得,从而利用累乘法得到,进而得证.【小问1详解】因为是首项为、公差为的等差数列,故,即,当时,,故,当时,,符合上式,故;【小问2详解】由,,故,则,因为,故.16.如图1,已知正三角形边长为6,其中,,现沿着翻折,将点翻折到点处,使得平面平面,为中点,如图2.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设O为BC的中点,结合图形翻折的性质推出平面,从而建立空间直角坐标系,求得相关线段长与相关点坐标,利用空间角的向量求法即可得解;(2)分别求出平面与平面的法向量,根据空间角的向量法即可得解.小问1详解】取的中点为的中点为,连接,,,因为正三角形中,,,所以,则四边形为等腰梯形,故;由翻折性质可得,,则,是的中点,,平面平面,平面平面平面,平面,又平面,以点为坐标原点以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,因为正的边长为,则为正三角形,边长为,则,,,在中,由勾股定理得,,则,,异面直线所成角的取值范围为,异面直线与所成角的余弦值为.【小问2详解】由(1)得,,,易得平面的一个法向量为,设平面的法向量为,则,即,令,则,,平面与平面夹角的余弦值为.17.2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴,同时,也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》,小明深受启发,在家尝试对这个魔术进行改良,小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子,甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4.乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,求两只手中所取球颜色不同的概率;(2)若左手取完两球后,右手再取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球(左右手完成各取两球为两次取球)的成功取法次数的随机变量,求的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解;(2)求出的可能取值,再求出各个值对应的概率,求出分布列即可得解.【小问1详解】记事件为“两手所取的球不同色”,事件是两手所取球颜色相同,则,所以.【小问2详解】依题意,的可能取值为,左手所取的两球颜色相同的概率为,右手所取的两球颜色相同的概率为,,,,所以的分布列为:01218.已知在平面直角坐标系中,:,:,平面内有一动点,过作交于,交于,平行四边形面积恒为1.(1)求点的轨迹方程并说明它是什么图形;(2)记轨迹为曲线,,当在轴右侧且不在轴上时,在轴右侧的上一点满足轴平分,且不与轴垂直或是的一条切线,求与,围成的三角形的面积最小值.【答案】(1)或,图形为两组双曲线(2)【解析】【分析】(1)联立直线的方程可得点,进而根据点到直线的距离公式,结合三角形面积公式即可化简得轨迹方程,(2)根据满足轴平分,确定在
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