内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量数据监测理科数学试卷

{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}呼和浩特市高三理科数学一模参考答案一、选择题123456789101112BDCADBBABCAA二、填空题x2y2113.914.164n15.2n116.0，e三、解答题17.解：（1）∵2ac2bcosC.2sinAsinC2sinBcosC2sin(BC)sinC2sinBcosC……………………………………2分2cosBsinCsinC0∵sinC01cosB………………………………………………………分25又B(0,)2∴B………………………………………………………分36{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}（2）△ABD中，由余弦定理，|AD|2|AB|2|BD|22|AB||BD|cosB可得|BD|22|BD|30解得|BD|=1.………………………………………………………8分AD是角平分线ACAB2,DCDB设DCm,则AC2m…………………………………………10分14m24(1m)222(1m)2整理得3m24m707m37DC…………………………12分318.（1）证明：如图，取BD中点E，连接，在菱形ABCD中，∵A1ECE.AB=又AD,CB=CD，，111则∴AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°,AB=2.所|以A1B|=|A1D|=|BD|=|CB|=|CD|=2A1E=CE=3又1222，即A1EE⊥BCDEA1CA1ECE…………………………2分又BD∩CE=E，∴A1E平面BCD又A1E平面A1BD所以平面平面.A1BDBCD…………………………5分（2）以E为原点，ED为x轴，EC为y轴，EA1为z轴建立空间直角坐标系，则E0，0，0，A10，0，3，D1，0，0，B1，0，0，C0，3，0，，，，，，，，A1D103A1B103A1C033…………………………7分{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}设平面A1BC的一个法向量为nx，y，z，则nAB01取，n(3,1,1)…………………………9分nA1C03315sin|cosA1D,n|||…………………………11分255所以与平面所成角的正弦值为…………………………12分15A1DA1BC5.解：（）…………………………………………分191.P20111211P……………………………………3分33232211PP0(1P)……………………………………5分43324当时，1(2)n1Pn(1Pn1)……………………………………8分211112P(P)，Pn32n13133n1n1121121P，即Pn332n332当n1时，符合上式…………………………………10分121故数列P是首项为，公比为的等比数列n332…………………………12分{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}20.(1)∵f(x)(ex2)(x1)exf(1)e2又∵f(1)0切线l的方程为y(e2)(x1)…………………………………2分下证：f(x)(e2)(x1)，即证：(x1)(ex2)(e2)(x1)，即(x1)(exe)0令g(x)(x1)(exe)，则g(1)0，且g(x)xexe，g(1)0g(x)ex(x1)，g(1)0，故g(x)在(，1)上单调递减且小于0，在(1，)上单调递增故g(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增故g(x)g(1)0，所以f(x)(e2)(x1)，即f(x)的图象在直线l的上方.…………………………………………6分(2)由题知f(x)0有两根x11，x2ln2，记f(x)在点(1，0)、点(ln2，0)处的切线方程分别为l1、l2，由(1)知l1：y(e2)(x1)∵f(x)(ex2)(x1)ex，f(ln2)2ln21的方程为l2y2ln21(xln2)………………………………7分下证：f(x)的图象在直线l2的上方，即证：f(x)2ln21(xln2)，即(x1)(ex2)2ln21(xln2)令h(x)(x1)(ex2)2ln21(xln2)，则h(ln2)0h(x)xex2ln2，则h(ln2)0h(x)(x1)ex，则h(1)0故h(x)在(，1)上单调递减且小于0，在(1，)上单调递增；故h(x)在(，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增故h(x)h(ln2)0，所以f(x)2ln21(xln2)，即f(x)的图象在直线l2的上方.………………………………9分假设l1与yt交于x3，l2与yt交于x4，则x3x4l1:y(e2)(x1)t联立得x31yte2l2:y2ln21(xln2)t联立得x4ln2yt2ln21ttt(e2ln2)所以x1x2x3x41ln21ln2.e22ln212(e2)(1ln2)………………………………12分{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}22ppp21.(1)解：令R(x，y)，则RFx2y2pyy2pyy222pppp因为y0，所以y，RF的最小值为，即1，抛物线的方程为x24y22222分1(1)2(2)证明：令M(x，y)，N(x，y)，l:y1(xt)，即y1(xt)1122PF0tt211211则PFPMPN11111(1)1y(1)1y(1)k2k21k222111(1)y1(1)y2(1)11yy2112y11y21y11y21y1y22y11y21y1y212lPF:y1(xt)16联立得2，由韦达定理得ty(22)y10y1y212tx4y211综上所述：PFPMPN7分{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}211(3)满足的关系为：.QGQEQHl:y13x联立AB得A234，743，B234，7432x4y假设抛物线C在A处的切线为l1：y74332x234在B处的切线为l2:y74332x234联立l1、l2得Q(23，1)令E(x3，y3)，H(x4，y4)，G(x0，y0)，lQG:y1k(x23)211211则QGQEQH1111y(1)1y(1)1y(1)k20k23k24211y0(1)y3(1)y4(1)211(*)y01y31y41lQG:y1k(x23)7k32k3联立得y0，k3y14klAB:y13x0lQG:y1k(x23)联立得y2243k4k2y(123k)202x4y所以11y3y42y3y424kk3k32y31y41y31y41y3y4y3y4116k4k112211所以，即.y31y41y01QGQEQH----------12分22解：（1）设P点的极坐标为(,)，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分3则OP，OMcosOMOP12312cos4cos－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分4cos0－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分2{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}（2）直线C2过半圆的圆心(2,0)所以直线的倾斜角为或2时满足题意33曲线C2的普通方程为y3(x2)－－－－－－－－－－－－－－－－10分注：只写出一条直线给3分23、（1）当时��，=2�−1+2�，−解2得+�当�<0时−，5�+3≥2，解�<得011当0≤�<时2，−3�+，解3得≥20≤�≤31当2≤�<时1，�+1≥，2解得�∈∅综上�≥所1述，5�−3≥的2解集为�≥1或分1（2）�(�)≥2{�|�≤3�≥1}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5当时，的最小值为分13�=2��2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7，∴�+�=12�+�1当�+且�仅=当1,∴��≤取等=241�=�=令则21�=��,0<�≤4{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}211�+�−2��12225+�+�=+��+=��+−2=�+−2≥当且�仅当�取等，此时�������411�=�=�=42分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10{#{QQABCYKAggAgQAAAAQhCAwH6CAIQkBACCKoOQAAIoAAASQFABCA=}#}