2024届山东省青岛市高三一模考试数学试题

2024年高三年级第一次适应性检测数学试题2024.03本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等比数列中，，，则（）A．32 B．24 C．20 D．162．在的展开式中，项的系数为（）A．1 B．10 C．40 D．803．已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的面积为（）A．1 B． C．2 D．5．2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（）A． B． C．1 D．6．记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（）A．9 B．16 C．25 D．507．，，，则的值为（）A．2 B．1 C．0 D．－18．已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件C．事件B与C是互斥事件 D．事件B与C相互独立10．已知复数z，下列说法正确的是（）A．若，则z为实数 B．若，则C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数11．已知函数，则（）A．在区间单调递增B．的图象关于直线对称C．的值域为D．关于x的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，，则的所有元素之和为______．13．已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为______．14．已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为△BCD的外心，棱AB与球面交于点P．若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则△PQR的周长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．16．（15分）已知函数．（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；（2）讨论的单调性．17．（15分）如图，在三棱柱中，与的距离为，，．（1）证明：平面平面ABC；（2）若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值．18．（17分）已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．（i）证明：G，E，H三点共线;（ii）若，过点H作的平行线，分别交线段，于点T，，求四边形面积的最大值．19．（17分）记集合，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．（1）若，用表示；（2）证明：；（3）若，，证明：．2024年高三年级第一次适应性检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1－8：ADBA CCBA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AB 10．AC 11．BCD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．0； 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1日均阅读时间的平均数为：（分钟）（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人的可能取值为：0，1，2则 所以的分布列为：01216．（15分）解：（1）当时，，解得又因为，所以切线方程为：（2）的定义域为，当时，得恒成立，在单调递增当时，令，（i）当即时，恒成立，在单调递增（ii）当即时，由得，或，由得，所以在，单调递增，在单调递减综上：当时，在单调递增；当时，在，单调递增；在单调递减17．（15分）解：（1）取棱中点D，连接BD，因为，所以因为三棱柱，所以，所以，所以因为，所以，；因为，，所以，所以，同理，因为，且，平面，所以平面，因为平面ABC，所以平面平面ABC（2）取AB中点O，连接，取BC中点P，连接OP，则，由（1）知平面，所以平面因为平面，平面，所以，，因为，则以O为坐标原点，OP，OB，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则，，，，设点，，，，设面的法向量为，得，得，取，则，，所以设直线AN与平面所成角为，则若，则，若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以直线AN与平面所成角的正弦值的最大值18．（17分）解：（1）设，切点为N，则，所以化简得，所以C的方程为：（2）（i）因为，所以可设，，又因为，所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线，所以G，E，H三点共线．（ii）设，，，，AB中点为E，中点为F，将代入得：，所以，，所以，同理（均在定直线上）因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等；所以四边形面积等于四边形GAHB面积设，，直线，即整理得：直线，又因为，所以，同理，直线，，所以所以所以四边形GAHB面积当且仅当，即，即时取等号，所以△GAT面积的最大值为16．19．（17分）解：（1）因为，所以（2）因为，所以又因为所以所以（3）对于，因为，所以，所以所以所以